Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Cho $a,b,c $ nguyên dương thỏa mãn:

$0< a^2+b^2-abc\leq c$.

CMR: $a^2+b^2-abc$ là số chính phương. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 27-10-2016 - 22:19

[I Love MC]

Giả sử tồn tại $a,b,c$ nguyên dương sao cho $k=a^2+b^2+c^2-abc (1)$ mà $k$ không phải là số chính phương 
Dễ thấy $k>0,k \le c$. Cố định $k$ và giả sử $(a,b)$ thỏa mãn $(1)$ 
Gọi $F(c,k)=\{a,b \in \mathbb{N^*},a^2+b^2-abc=k\}$ 
Giả sử $a \ge b$ . Xét phương trình $x^2-xbc+b^2-k=0 (2)$ ,nhận thấy $a$  là một nghiệm của phương trình $(2)$ và giả sử $a_1$ là nghiệm còn lại 
Theo định lí Vieta : $\begin{cases} &a_1+a=bc&\\&a_1a=b^2-k& \end{cases} (3)$ 
Dễ thấy $a_1 \in \mathbb{Z}$ . Nếu $a_1=0$ thì $b^2=k$ trái với điều ta đã giả sử 
$a_1<0$ thì $k=a_1^2+b^2-a_1bc \ge a_1^2+b^2+bc>c$ trái với $k \le c$ 
Vậy $a_1 \in \mathbb{Z^+}$ 
Bây giờ từ $(3)$ ta có $a_1=\frac{b^2-k}{a}<a$ vì ta đã giả sử $a \ge b$ . 
Như vậy từ cặp nghiệm $(a,b)$ ta xây dựng được cặp nghiệm mới $a_1+b_1<a+b$ vô lí . Vậy ta có điều phải chứng minh 
Mạnh hơn : Nếu $|a^2+b^2-abc-2|<c$ thì $a^2+b^2-abc$ là số chính phương 

[yagami wolf]

Giả sử tồn tại $a,b,c$ nguyên dương sao cho $k=a^2+b^2+c^2-abc (1)$ mà $k$ không phải là số chính phương 
Dễ thấy $k>0,k \le c$. Cố định $k$ và giả sử $(a,b)$ thỏa mãn $(1)$ 
Gọi $F(c,k)=\{a,b \in \mathbb{N^*},a^2+b^2-abc=k\}$ 
Giả sử $a \ge b$ . Xét phương trình $x^2-xbc+b^2-k=0 (2)$ ,nhận thấy $a$  là một nghiệm của phương trình $(2)$ và giả sử $a_1$ là nghiệm còn lại 
Theo định lí Vieta : $\begin{cases} &a_1+a=bc&\\&a_1a=b^2-k& \end{cases} (3)$ 
Dễ thấy $a_1 \in \mathbb{Z}$ . Nếu $a_1=0$ thì $b^2=k$ trái với điều ta đã giả sử 
$a_1<0$ thì $k=a_1^2+b^2-a_1bc \ge a_1^2+b^2+bc>c$ trái với $k \le c$ 
Vậy $a_1 \in \mathbb{Z^+}$ 
Bây giờ từ $(3)$ ta có $a_1=\frac{b^2-k}{a}<a$ vì ta đã giả sử $a \ge b$ . 
Như vậy từ cặp nghiệm $(a,b)$ ta xây dựng được cặp nghiệm mới $a_1+b_1<a+b$ vô lí . Vậy ta có điều phải chứng minh 
Mạnh hơn : Nếu $|a^2+b^2-abc-2|<c$ thì $a^2+b^2-abc$ là số chính phương 

phải bổ sung là . theo nguyên lý cực hạn giả sử $a+b$ nhỏ nhất mới suy ra được điều vô lý