Chủ đề này có 1 trả lời

[harryhuyen]

cho a,b,c >0 cm  $ \frac{ab}{a^2+bc+ac } +\frac{ cb}{b^2+ac+ab} +\frac{ac}{c^2+ab+bc}\leq \frac{ a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi harryhuyen: 28-10-2016 - 18:27

[Dark Repulsor]

cho a,b,c >0 cm  $ \frac{ab}{a^2+bc+ac } +\frac{ cb}{b^2+ac+ab} +\frac{ac}{c^2+ab+bc}\leq \frac{ a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac} $

Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$: $(a^2+bc+ac)(b^2+bc+ac)\geq (\sum ab)^2$

$\Rightarrow\frac{ab}{a^2+bc+ac}\leq\frac{ab(b^2+bc+ac)}{(\sum ab)^2}\Rightarrow VT\leq\frac{\sum_{cyc} ab^3+2\prod a\sum a}{(\sum ab)^2}$

Ta cần c/m: $\sum_{cyc} ab^3+2\prod a\sum a\leq (\sum ab)(\sum a^2)=\sum ab(a^2+b^2)+\prod a\sum a$

$\Leftrightarrow \prod a\sum a\leq \sum_{cyc} a^3b\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^2}{c}\geq\sum a$

(đúng vì $\sum_{cyc} \frac{a^2}{c}\geq\frac{(\sum a)^2}{\sum a}=\sum a$)

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$