Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Cho số tự nhiên $k\geq 7$. Có bao nhiêu cặp nguyên dương $(x;y)$ và $0\leq x, y\leq 2^x-1$ thỏa mãn:

$73^{73^x}\equiv 9^{9^y}(mod2^k)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 28-10-2016 - 20:39

[I Love MC]

Bài toán phụ $1$ : $73^{73^a} \equiv 9^{9^a} \pmod{2^6},\forall a \in \mathbb{N}$ 
Gợi ý : Bài toán $1$ coi như là bài tập . Ta đi chứng minh $2^6|73^{73^a}-73,2^6|9^{9^a}-9$ 
Bài toán phụ $2$ : Với mỗi cặp $(x,y)$ nguyên dương , $0 \le x,y \le 2^k-1$ ta có 
$73^{73^x} \equiv 73^{73^y} \pmod{2^k} \Leftrightarrow 2^{k-6}|x-y$ 
Chứng minh bài toán phụ 2 : Ta có $v_2(73^{73^x}-73^{73^y})=v_2(73^{73^x-73^y}-1)=6-v_2(x-y)$ (theo LTE) 
Do đó ta có điều phải chứng minh 
Đi vào bài toán : 
Đặt $S=\{73^{73^a}|0 \le a \le 2^k-1\}$ suy ra $cardS=2^k$ 
Ta có $[0,2^k-1]=[0,2^{k-6}-1] \cup [2^{k-6},2^{k-5}-1] \cup ... \cup [2^{k}-2-2^{k-6},2^k-1]$ có $2^6$ đoạn và mỗi đoạn có độ dài $2^{k-6}-1$ 
Khi đó ta có hai phân tử phân biệt của mỗi đoạn không thể đồng dư nhau mod $2^{k-6}$ 
Theo bài toán phụ $2$ , ta có thể phân $S$ thành $2^6$ tập con $S_1,S_2,...,S_{2^6}$ sao cho với bất kì hai phân tử phân biệt thuộc tập $S_i$ thì 
$2^k \not \mid a-b$ . Chú ý rằng $cardS_i=2^{k-6},i=\overline{1,2^6} (1)$
Theo bài toán phụ $1$ ta có mỗi phần tử $S_t$ đều đồng dư $9$ mod $2^6$ mà với mỗi hệ đề đủ mod $2^k$ đều có chính xác $2^{k-6}$ phân tử đồng dư $9$ mod $2^6$ . Cộng với việc có $(1)$ ta có ngay $S_t$ chứa tất cả phân tử đồng dư $9$ mod $2^6$ của một hệ thặng dư đầy đủ mod $2^k$ bất kì nào đó 
Ta lấy bất kì $y \in \{0,1,..,2^k-1\}$ theo bài toán phụ $1$ ta có $9^{9^y} \equiv 9 \pmod{2^6}$ ,có nghĩa là $9^{9^y}$ là phần tử đồng dư $9$ mod $2^6$ của một hệ thặng dư đầy đủ mod $2^k$ nào đó 
$\Rightarrow$ tồn tại duy nhất $l \in \mathbb{S_t}$ sao cho $l \equiv 9 \pmod{2^k}$ 
Vậy với mỗi $y \in \{0,1,...,2^k-1\}$ tồn tại đúng $2^6$ số $x \in \{0,1,..,2^k-1\}$ sao cho  $73^{73^x} \equiv 9^{9^y} \pmod{2^6}$  
Vậy số cặp $x,y \in \mathbb{N^*},0 \le x,y \le 2^k-1$ thỏa mãn điều kiện bài toán là $2^k.2^6=2^{k+6}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 28-10-2016 - 20:51

[that bai]

Bài toán phụ $1$ : $73^{73^a} \equiv 9^{9^a} \pmod{2^6},\forall a \in \mathbb{N}$ 
Gợi ý : Bài toán $1$ coi như là bài tập . Ta đi chứng minh $2^6|73^{73^a}-73,2^6|9^{9^a}-9$ 
Bài toán phụ $2$ : Với mỗi cặp $(x,y)$ nguyên dương , $0 \le x,y \le 2^k-1$ ta có 
$73^{73^x} \equiv 73^{73^y} \pmod{2^k} \Leftrightarrow 2^{k-6}|x-y$ 
Chứng minh bài toán phụ 2 : Ta có $v_2(73^{73^x}-73^{73^y})=v_2(73^{73^x-73^y}-1)=6-v_2(x-y)$ (theo LTE) 
Do đó ta có điều phải chứng minh 
Đi vào bài toán : 
Đặt $S=\{73^{73^a}|0 \le a \le 2^k-1\}$ suy ra $cardS=2^k$ 
Ta có $[0,2^k-1]=[0,2^{k-6}-1] \cup [2^{k-6},2^{k-5}-1] \cup ... \cup [2^{k}-2-2^{k-6},2^k-1]$ có $2^6$ đoạn và mỗi đoạn có độ dài $2^{k-6}-1$ 
Khi đó ta có hai phân tử phân biệt của mỗi đoạn không thể đồng dư nhau mod $2^{k-6}$ 
Theo bài toán phụ $2$ , ta có thể phân $S$ thành $2^6$ tập con $S_1,S_2,...,S_{2^6}$ sao cho với bất kì hai phân tử phân biệt thuộc tập $S_i$ thì 
$2^k \not \mid a-b$ . Chú ý rằng $cardS_i=2^{k-6},i=\overline{1,2^6} (1)$
Theo bài toán phụ $1$ ta có mỗi phần tử $S_t$ đều đồng dư $9$ mod $2^6$ mà với mỗi hệ đề đủ mod $2^k$ đều có chính xác $2^{k-6}$ phân tử đồng dư $9$ mod $2^6$ . Cộng với việc có $(1)$ ta có ngay $S_t$ chứa tất cả phân tử đồng dư $9$ mod $2^6$ của một hệ thặng dư đầy đủ mod $2^k$ bất kì nào đó 
Ta lấy bất kì $y \in \{0,1,..,2^k-1\}$ theo bài toán phụ $1$ ta có $9^{9^y} \equiv 9 \pmod{2^6}$ ,có nghĩa là $9^{9^y}$ là phần tử đồng dư $9$ mod $2^6$ của một hệ thặng dư đầy đủ mod $2^k$ nào đó 
$\Rightarrow$ tồn tại duy nhất $l \in \mathbb{S_t}$ sao cho $l \equiv 9 \pmod{2^k}$ 
Vậy với mỗi $y \in \{0,1,...,2^k-1\}$ tồn tại đúng $2^6$ số $x \in \{0,1,..,2^k-1\}$ sao cho  $73^{73^x} \equiv 9^{9^y} \pmod{2^6}$  
Vậy số cặp $x,y \in \mathbb{N^*},0 \le x,y \le 2^k-1$ thỏa mãn điều kiện bài toán là $2^k.2^6=2^{k+6}$ 

đoạn màu đỏ kí tự có nghĩa là  gì vậy bạn 

[I Love MC]

đoạn màu đỏ kí tự có nghĩa là  gì vậy bạn 

lực lượng