Chủ đề này có 2 trả lời

[Susanoo]

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                              P=$\frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2} + 7bc} + \frac{b^{2}}{c^{2} + a^{2} + 7ca} - \frac{3}{4}\left ( a + b \right )^{2}.$

[dungxibo123]

DẤU ''=" XẢY RA KHI A=B=0; C=1 PHẢI KHÔNG BẠN ?

[hanguyen445]

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                              P=$\frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2} + 7bc} + \frac{b^{2}}{c^{2} + a^{2} + 7ca} - \frac{3}{4}\left ( a + b \right )^{2}.$

\[Q = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2} + 5bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2} + 5ac}}\]

\[ \geqslant \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2} + \frac{5}{4}{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2} + \frac{5}{4}{{\left( {a + c} \right)}^2}}}\]\[ = \frac{{4{a^2}}}{{9{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{4{b^2}}}{{9{{\left( {a + c} \right)}^2}}} \geqslant \frac{2}{9}{\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}}} \right)^2}\]

Mà

\[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{2ab + c\left( {a + b} \right)}} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\frac{1}{2}{{\left( {a + b} \right)}^2} + c\left( {a + b} \right)}} = \frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{a + b + 2c}}\]

\[ \Rightarrow Q \geqslant \frac{8}{9}{\left( {\frac{{a + b}}{{a + b + 2c}}} \right)^2}{\text{ v\mu  }}c = 1 - \left( {a + b} \right) = 1 - t{\text{ v\'i i }}t = a + b \in \left( {0;1} \right)\]

Suy ra:

\[P \geqslant \frac{8}{9}{\left( {\frac{{a + b}}{{2 - \left( {a + b} \right)}}} \right)^2} - \frac{3}{4}{\left( {a + b} \right)^2} = \frac{8}{9}{\left( {\frac{t}{{2 - t}}} \right)^2} - \frac{3}{4}{t^2} \geqslant  - \frac{1}{9}\]

\[ \Leftrightarrow 32{t^2} - 27{t^2}\left( {{t^2} - 4t + 4} \right) \geqslant  - 4\left( {{t^2} - 4t + 4} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 27{t^4} - 108{t^3} + 72{t^2} + 16t - 16 \leqslant 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {3t - 2} \right)^2}\left( {3{t^2} - 8t - 4} \right) \leqslant 0\]

 

Luôn đúng, do $t\in (0;1)$

Vậy Min P=$-\dfrac{1}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 29-10-2016 - 01:15