Chủ đề này có 1 trả lời

[5S online]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$. Tìm Min

$$P=\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^y+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^z+1}}$$

[Viet Hoang 99]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$. Tìm Min

$$P=\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^y+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^z+1}}$$

$\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{(2^x+1)(4^x-2^x+1)}}\ge \dfrac{2}{4^x+2}\ge \dfrac{2}{2^{x^2+1}+2}=\dfrac{1}{2^{x^2}+1}$

Từ $GT\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le 3$

Đặt $\left ( 2^{x^2},2^{y^2},2^{z^2} \right )\rightarrow \left (2a,2b,2c  \right )\Rightarrow 8abc=2^{x^2+y^2+z^2}\le 8\Leftrightarrow abc\le 1$

$P\ge \sum \dfrac{1}{2a+1}=\sum \dfrac{\dfrac{1}{a}}{2+\dfrac{1}{a}}\ge \dfrac{\left ( \sum \sqrt{\dfrac{1}{a}} \right )^2}{\sum \dfrac{1}{a}+6}=\dfrac{\sum \dfrac{1}{a}+2.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}}{\sum \dfrac{1}{a}+6}\ge 1$

Dấu bằng khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 01-11-2016 - 17:33