Chủ đề này có 3 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $a, b, c \in \mathbb{R}$ sao cho $(a+b)(b+c)(c+a) > 0.$ Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}.$

 

[Dark Repulsor]

Cho $a, b, c \in \mathbb{R}$ sao cho $(a+b)(b+c)(c+a) > 0.$ Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}.$

Bài này là đề KT trường Đông năm ngoái 

[9nho10mong]

Cho $a, b, c \in \mathbb{R}$ sao cho $(a+b)(b+c)(c+a) > 0.$ Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}.$

 

Ta có

$$ \sum \dfrac{ab}{\left( a+b \right)^2} +\dfrac{5}{4} - \dfrac{6 \left( ab+bc+ca \right)}{\left( a+b+c \right)^2} = \dfrac{\sum ab \left( a+b \right)^2 \left( 7ca+5ab+7bc+9c^2 \right) \left( a-b \right)^2  }{4 \left( a+b \right)^2 \left( b+c \right)^2 \left( c+a \right)^2 \left( a+b+c \right)^2} \ge 0 $$

Từ đó có được điều cần chứng minh.

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a, b, c \in \mathbb{R}$ sao cho $(a+b)(b+c)(c+a) > 0.$ Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}.$

Đặt $p=a+b+c,$ $q=ab+bc+ca$ và $r=abc$ Khi đó

\[\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4} - \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}} = \frac{r(p^2-3q)[5p(p^2-3q)+7p^3+51r]+3q(5pq+3r)(p^3-4pq+9r)}{12p^2(pq-r)^2}.\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Schur bậc 3.