Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các hàm số thỏa $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}.$



#2
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}.$

Thay x=y=0 vào (1): f(0)=0

Thay y bởi x vào (1): f(2x)=2f(x)

Thay x bởi 3x, y bởi x vào (1):

$f(4x)+f(2x)=2f(3x)+2f(x)\Leftrightarrow 2f(2x)+f(2x)=2f(3x)+f(2x)\Leftrightarrow f(3x)=f(2x)$

Suy ra: $f(x)=f(\frac{2}{3}x)=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^2x)=...=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)$

Vì f liên tục nên: $limf(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)=f(lim(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx))=f(0)=0$

Vậy f(x)=0 với mọi x thuộc R


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#3
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Thay x=y=0 vào (1): f(0)=0

Thay y bởi x vào (1): f(2x)=2f(x)

Thay x bởi 3x, y bởi x vào (1):

$f(4x)+f(2x)=2f(3x)+2f(x)\Leftrightarrow 2f(2x)+f(2x)=2f(3x)+f(2x)\Leftrightarrow f(3x)=f(2x)$

Suy ra: $f(x)=f(\frac{2}{3}x)=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^2x)=...=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)$

Vì f liên tục nên: $limf(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)=f(lim(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx))=f(0)=0$

Vậy f(x)=0 với mọi x thuộc R

$f(x) = f(1)x^2$ thỏa nhé.

Bài này dùng quy nạp theo kiểu Cauchy.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh