Chủ đề này có 2 trả lời

[lenadal]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR

$\sum \frac{a}{4b^2+1}\geq (a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2$

[Nam Antoneus]

Bài này có trong cuốn Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng.

$\sum \frac{a}{4b^2+1}=\sum \frac{a^3}{4a^2b^2+a^2}\geq \frac{(\sum a\sqrt{a})^2}{\sum a^2+\sum 4a^2b^2}$

Cần chứng minh $\sum a^2+\sum 4a^2b^2\leqslant 1=(a+b+c)^2\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geqslant 0$ (1)

$a>0\Rightarrow b+c<1\Rightarrow 4bc\leqslant (b+c)^2<1\Leftrightarrow bc< \frac{1}{4}$

Tương tự: $ab,ca< \frac{1}{4}$

=> (1) đúng => ĐPCM

Dấu = xảy ra khi (a,b,c) là hoán vị của (1;0;0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Antoneus: 07-11-2016 - 21:02

[Nguyenphuctang]

Mình xin trích rõ nguồn : Greece MO 2002