Chủ đề này có 3 trả lời

[tienduc]

Tìm các bộ số tự nhiên $(a_{1},a_{2},a_{3}...a_{2014})$ thỏa mãn 

$\left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{2014} \geq 2014^{2}& \\ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{2014}^{2}\leq 2014^{3}+1 & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 16-11-2016 - 11:35

[loolo]

cái dòng thứ 2 phải là $\leq 2014^{3}+1$

Đây là đề thi vào chuyên toán Hà Nội 2014

[tenlamgi]

Đầu tiên, ta chứng minh được:$\sum_{x=1}^{n}a_{x}^2\geq \frac{(\sum_{x=1}^{n}a_{x})^2}{n} (\forall n\in\mathbb{N}^*)$ bằng quy nạp.

Áp dụng vào bài toán với n=2014, ta có:

$2014^3+1\geq \sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2\geq \frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}\geq 2014^3$

Vậy ta có 3 TH:

TH1:$\sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=\frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=2014$

TH2:$\sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=\frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3+1\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=\sqrt{2014^2+1/2014}$(loại)

TH3:$\left\{\begin{matrix} \sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=2014^3+1\\ \frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3 \end{matrix}\right.$

Ta thấy hệ này không có nghiệm nguyên dương.

Vậy ta có được bộ số tư nhiên duy nhất thỏa mãn đề bài là $a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=2014$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tenlamgi: 12-11-2016 - 13:29

[tienduc]

Đầu tiên, ta chứng minh được:$\sum_{x=1}^{n}a_{x}^2\geq \frac{(\sum_{x=1}^{n}a_{x})^2}{n} (\forall n\in\mathbb{N}^*)$ bằng quy nạp.

Áp dụng vào bài toán với n=2014, ta có:

$2014^3+1\geq \sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2\geq \frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}\geq 2014^3$

Vậy ta có 3 TH:

TH1:$\sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=\frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=2014$

TH2:$\sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=\frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3+1\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=\sqrt{2014^2+1/2014}$(loại)

TH3:$\left\{\begin{matrix} \sum_{x=1}^{2014}a_{x}^2=2014^3+1\\ \frac{(\sum_{x=1}^{2014}a_{x})^2}{2014}=2014^3 \end{matrix}\right.$

Ta thấy hệ này không có nghiệm nguyên dương.

Vậy ta có được bộ số tư nhiên duy nhất thỏa mãn đề bài là $a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=2014$

Bạn có thể làm cách khác được không, mình chưa học đến kiến thức này