Chủ đề này có 3 trả lời

[quanguefa]

Tìm tất cả các hàm f: $R\rightarrow R$ thỏa mãn: $f(xf(y))=yf(x)$ , với mọi x, y thuộc R

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm tất cả các hàm f: $R\rightarrow R$ thỏa mãn: $f(xf(y))=yf(x)$ , với mọi x, y thuộc R

Trước tiên, ta chứng minh $f$ là đơn ánh.

Giả sử $f(y_{1})=f(y_{2})$ thì $f(xf(y_{1}))=f(xf(y_{2}))\Leftrightarrow y_{1}f(x)=y_{2}f(x)\Leftrightarrow y_{1}=y_{2}.$

Cho $x=y=1$ thì $f(f(1))=f(1)\Leftrightarrow f(1)=1$ ( vì $f$ là đơn ánh )

Cho $x=1$ thì $f(f(y))=y$

Với $y> 1$ thì $f(y)> 1$ ( vì $f$ là đơn ánh ). Với $x> y\geq 1$ thì

$f(x)=f(\frac{x}{y}.y)=f(\frac{x}{y}.f(f(y)))=f(y).f(\frac{x}{y})> f(y)$ suy ra $f$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Giả sử có một giá trị $x_{0}\in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_{0})\neq 0.$

+Nếu $f(x_{0})> x_{0}$ thì $f(f(x_{0}))> f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}.f(1)> f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}> f(x_{0})$ (vô lý).

+Nếu $f(x_{0})< x_{0}$ thì $f(f(x_{0}))< f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}.f(1)< f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}< f(x_{0})$ (vô lý).

* Từ đây suy ra hàm số thỏa mãn là $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}.$ Thử lại vào phương trình đầu thấy thỏa mãn.

[quanguefa]

Trước tiên, ta chứng minh $f$ là đơn ánh.

Giả sử $f(y_{1})=f(y_{2})$ thì $f(xf(y_{1}))=f(xf(y_{2}))\Leftrightarrow y_{1}f(x)=y_{2}f(x)\Leftrightarrow y_{1}=y_{2}.$

Cho $x=y=1$ thì $f(f(1))=f(1)\Leftrightarrow f(1)=1$ ( vì $f$ là đơn ánh )

Cho $x=1$ thì $f(f(y))=y$

Với $y> 1$ thì $f(y)> 1$ ( vì $f$ là đơn ánh ). Với $x> y\geq 1$ thì

$f(x)=f(\frac{x}{y}.y)=f(\frac{x}{y}.f(f(y)))=f(y).f(\frac{x}{y})> f(y)$ suy ra $f$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Giả sử có một giá trị $x_{0}\in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_{0})\neq 0.$

+Nếu $f(x_{0})> x_{0}$ thì $f(f(x_{0}))> f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}.f(1)> f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}> f(x_{0})$ (vô lý).

+Nếu $f(x_{0})< x_{0}$ thì $f(f(x_{0}))< f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}.f(1)< f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}< f(x_{0})$ (vô lý).

* Từ đây suy ra hàm số thỏa mãn là $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}.$ Thử lại vào phương trình đầu thấy thỏa mãn.

Khúc đầu em làm chưa kĩ nên thiếu mất hàm f(x)=0 với mọi x rồi.

Khúc chữ đỏ thì anh không hiểu (sao f đơn ánh thì có ý đó được @ )

Với lại em chỉ xét với x>y>=1 sao lại kết luận hàm đồng biến trên R

 

Anh thì làm theo hướng biến đổi thay giá trị, đi đến được: f(x).f(1/x)=1 , với mọi x. Mà tới đây bí mất!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 13-11-2016 - 11:57

[anhquannbk]

Tìm tất cả các hàm f: $R\rightarrow R$ thỏa mãn: $f(xf(y))=yf(x)$ , với mọi x, y thuộc R

Bài này kèm theo điều kiện $ x, y \in [1; +\infty)$ hoặc  $x, y \in \mathbb{R}^+, \lim_{x \to +\infty}=f(0)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 15-11-2016 - 19:39