Cho $ p=2^n+1$ là một số nguyên tố ($ n \in \mathbb{Z}^+, n>1$). Chứng minh $ 3$ là căn nguyên thủy mod $p$.
#2
Đã gửi 12-11-2016 - 21:26
tay du ki
-
- Thành viên
-
- 205 Bài viết
Thượng sĩ
Mình không hiểu câu cuối bạn có thể giải thích không?
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
#3
Đã gửi 13-11-2016 - 05:37
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Bài toán tương đương với việc chứng minh $\text{ord}_p(3)=p-1=2^n$ hay $p \mid 3^{(p-1)/2}+1=3^{2^{n-1}}+1$. Dễ thấy $p \ge 3$ thì $p \equiv 2 \pmod{3}$ suy ra $\left( \frac{p}{3} \right)=-1$. Theo Luật tương hỗ Gauss thì $$\left( \frac{3}{p} \right) \left( \frac{p}{3} \right)= (-1)^{\frac{3-1}{2} \cdot \frac{p-1}{2}}=1.$$
Do đó $\left( \frac{3}{p} \right)=-1$ hay $p \mid 3^{(p-1)/2}+1$.
- anhquannbk, Dark Magician 2k2, yeutoan2001 và 1 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 13-11-2016 - 11:30
thinhrost1
-
- Thành viên
-
- 316 Bài viết
Sĩ quan
$p=2^n+1$ nên $p=F_m=2^{2^m}+1$ Nên $p$ là số nguyên tố Fermat.
Theo tính chất số nguyên tố Fermat thì 3 là căn nguyên thủy $mod p$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
