Chủ đề này có 4 trả lời

[ntqlamthao]

Cho A là ma trận vuông cấp n, E là ma trận đơn vị cấp n và $A^3-5A+E=0$

Chứng minh rằng E-3A khả nghịch

 

[An Infinitesimal]

Cho A là ma trận vuông cấp n, E là ma trận đơn vị cấp n và $A^3-5A+E=0$

Chứng minh rằng E-3A khả nghịch

 

Vì $$A^3-5A+E=(E-3A)\left( - \frac{1}{3}A^2 - \frac{1}{9}A + \frac{44}{27}E\right)-\frac{17}{27} E$$

nên 

$$(E-3A)\left( - 9A^2 - 3A + 44E\right)=17E.$$

Do đó 

$$\det(E-3A) \det(- 9A^2 - 3A + 44E)=17^n \neq 0.$$

Suy ra $\det(E-3A)\neq 0.$

 

Từ đó, ta thu được ĐPCM.

[ntqlamthao]

còn cách nào khác không bạn

[An Infinitesimal]

còn cách nào khác không bạn

 

Nếu đã học về đa thức đặc trưng, đa thức tối tiểu triệt tiêu ma trận $A$ thì dễ.

 

Mọi trị riêng của ma trận A đều là nghiệm của đa thức tối tiểu triệt tiêu $A$. Đa thức tối tiểu là ước của đa thức $q(x)=x^5-5x+1.$ 

Vì $x_0=\frac{1}{3}$ không là nghiệm của $q(x)$ nên $x_0$ không là trị riêng của ma trận $A$. Vì thế $E-3A$ khả nghịch.

[ntqlamthao]

Hichic, mình chưa học. Thôi 1 cách là tốt rồi. Cám ơn bạn