Chủ đề này có 2 trả lời

[Phan Tien Ngoc]

Cho $a_1=2 ; a_{n+1}=2a_n^2-1$ . Chứng minh rằng $(a_n;n)=1$

[IHateMath]

Đề bài chưa chặt chẽ. Chưa nói gì đến tính nguyên của $a_n$ sao đã yêu cầu chứng minh $(a_n,\, n)=1$???

 

Lời giải. (Thầy Hà Duy Hưng)

 

Trước hết dễ thấy rằng $a_n \in\mathbb{Z}\,\forall n\in\mathbb{Z_+}$. Ta sẽ cmr $(a_n,\,n)=1\,\forall n\in\mathbb{Z_+}$.

Dễ thấy $n=1$, mệnh đề trên đúng. Xét $n>1$. Ta thấy rằng mệnh đề cần cm tương đương với:

 

Với mọi $n\in\mathbb{Z_+},\,n>1$, ta gọi $p$ là một ước nguyên tố bất kỳ của $n$. khi đó $p\not |a_n$. hay nói cách khác, $\forall p$ nguyên tố, và $k\in\mathbb{Z_+}$ thì $p\not |a_{kp}$.

 

Với mỗi $n\in\mathbb{Z_+}$, đặt 

$r_n\equiv a_n$ (mod $p$)

trong đó $0\leq r_n<p$.

Ta xét các trường hợp sau:

 

Trường hợp 1. $\exists i\in[1,\, p-1]$ sao cho $r_i=0$.

Ta có

$a_{i+1}=2a_i^2-1\equiv -1$ (mod $p$)

$\Rightarrow$

$a_{i+2}=2a_{i+1}^2-1\equiv 1$ (mod $p$)

$\Rightarrow$

$a_n\equiv\pm 1$ (mod $p$) $\forall n\geq i+1$

Do $p\geq i+1$ nên cho $n=kp$ ($k\in\mathbb{Z_+}$) ta có:

$a_{kp}\equiv\pm 1$ (mod $p$)

Tức là $p\not |a_{kp}$. $\square$

 

Trường hợp 2. $\exists i\in[1,\, p-1]$ mà $r_i=1$ hay $r_i=p-1$, thì tương tự Trường hợp 1, ta cũng có $p\not |a_{kp}$. $\square$

 

Trường hợp 3. $\forall i\in[1,\, p-1],\, r_i\in[2,\, p-2]$.

Hiển nhiên tồn tại $i,\, j\in[1,\, p-1]$ ($i<j$) mà

$r_i=r_j$

$\Rightarrow$

$r_{i+1}\equiv a_{n+1}\equiv 2a_n^2-1\equiv 2r_i^2-1\equiv 2r_j^2-1\equiv r_{j+1}$ (mod $p$)

$\Rightarrow$

$r_{i+1}=r_{j+1}$

$\Rightarrow$

$r_{i+k}=r_{j+k}\,\forall k\in\mathbb{N}$

Vậy

$r_{n}=r_{n+t}\,\forall n\geq i$ ($t=j-i$)

Giả sử $kp-i\equiv x$ (mod $t$) ($x\in[0,\, t-1]$), khi đó

$r_{kp}=r_{i+x}$

Mà $r_i,\, r_{i+1},\,\ldots,\, r_{j-1}\in[2,\, p-2]$ nên không thể xảy ra $r_{i+x}=0$, nói cách khác, $p\not |a_{kp}$. $\square$

 

Vậy trong mọi trường hợp ta đều không thể có $p|a_{kp}$. Vậy ta có đpcm. $\blacksquare$

[halloffame]

Cho $a_1=2 ; a_{n+1}=2a_n^2-1$ . Chứng minh rằng $(a_n;n)=1$

Bạn có thể xem thêm một số thông tin về dãy số này tại đây.