Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(x+1)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^{2}(x)}, \forall x\in \mathbb{R}.$ Chứng minh rằng $f(x)$ là một hàm tuần hoàn.
#2
Đã gửi 16-12-2016 - 20:16
anhquannbk
-
- Thành viên
-
- 477 Bài viết
Sĩ quan
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(x+1)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^{2}(x)}, \forall x\in \mathbb{R}.$ Chứng minh rằng $f(x)$ là một hàm tuần hoàn.
Ta có $ f(x+2)=f(x+1+1)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{f(x+1)-f^2(x+1)}= \dfrac{1}{2} +\sqrt{\dfrac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^2(x)}-( \dfrac{1}{2}+ \sqrt{f(x)-f^2(x)})^2 } = \dfrac{1}{2} + \sqrt{ \dfrac{1}{4}-f(x)+f^2(x)}=\dfrac{1}{2} +\sqrt{ (f(x)-\dfrac{1}{2})^2} $
Từ giả thiết ta có $ \dfrac{1}{2} \le f(x) \le 1$ nên ta có
$ f(x+1)=\dfrac{1}{2}+f(x)-\dfrac{1}{2}=f(x), \forall x \in \mathbb{R}$
chứng tỏ $ f(x)$ tuần hoàn với chu kì $ 2$.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
