$\S$ Bất đẳng thức qua các kì thi toán quốc tế
$\bigstar$ Lời nói đầu:
Đây là topic về các bài bất đẳng thức qua các kì thi IMO, Olympiad, .... , các bài toán nổi tiếng và các bài toán xuất hiện trên các tạp chí toán học nổi tiếng.
$\bigstar$ Ghi chú:
Các bạn đọc kĩ ghi chú trước khi đăng bài giải và đăng bài giúp topic phát triển mạnh mẽ
$\bullet$ Bài đăng đúng chủ đề, không spam,....
$\bullet$ Bài đăng phải đánh số thứ tự bài 1, 2, .... khi đăng cần chú ý .
$\bullet$ Đáp án đăng phải rõ ràng đúng, bài đăng sai nếu phát hiện phải chỉ rõ ra chỗ sai không được nói bừa
$\bullet$ Bài đăng phải gõ latex
$\bullet$ Không sử dụng từ ngữ thô tục, không chửi nhau, không nói bậy.
Cùng chung tay xây dựng topic phát triển mạnh mẽ !!!
- Bài 1 : [IMO 1964]
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
$a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$
- Bài 2 : [IMO 1983]
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$
- Bài 3 : [UK 1983]
Chứng minh rằng $\forall$ a, b, c , d > 0. Ta có:
$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f}\leq \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+d+e+f}$
- Bài 4 : [China 1984]
Cho n $\geq$ 2 và các số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. Chứng minh rằng:
$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+\frac{a_{2}^{2}}{a_{3}}+...+\frac{a_{n-1}^{2}}{a_{n}}+\frac{a_{n}^{2}}{a_{1}}\geq a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$
- Bài 5 : [IMO 1984]
Cho x, y, z $\geq$ 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
$0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$
- Bài 6 : [Russia 1984]
Chứng minh rằng với mọi a, b > 0 ta luôn có:
$\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$
- Bài 7 : [UK 1986]
Cho x + y + z = 0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$. Tìm Giá trị lớn nhất của:
$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x.$
- Bài 8 : [IMO Shortlist 1987]
Cho x, y, z $\in \mathbb{R}$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Chứng minh rằng:
$x+y+z\leq xyz+2$
- Bài 9 : [Kvant 1988]
$3+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3.\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{1+abc}$
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
- Bài 10 : [Russia 1989]
Cho x, y, z $\in \mathbb{R}$ và xyz(x + y + z) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )$
- Bài 11 : [IMO Shortlist 1990]
Cho a, b, c, d > 0 và ab + bc + cd +da = 1. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{3}}{b+c+d}\geq \frac{1}{3}$
- Bài 12 : [Russia 1990]
Chứng minh rằng với mọi x ta có:
$x^{4}>x-\frac{1}{2}$
- Bài 13 : [UK 1990]
Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có bất đẳng thức sau:
$\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}\geq \sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$
- Bài 14 : [APMO 1991]
Cho $a_{i}>0,b_{i}>0$ $\forall i=\overline{1,n}$ và $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}$
$\frac{a_{1}^{2}}{a_{1}+b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{a_{2}+b_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}+b_{n}}\geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{2}$
- Bài 15 : [Mongolia 1991]
Cho a, b, c lá các số thực thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. Chứng minh rằng:
$\prod (1+a)\geq 8\prod (1-a)$
- Bài 16 : [Russia 1991]
Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{(x+y+z)^{2}}{3}\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}$
- Bài 17 : [Viet Nam 1991]
Chứng minh rằng $\forall x\geq y\geq z>0$ ta có :
$\sum \frac{x^{2}y}{z}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
- Bài 18 : [Poland 1992]
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có:
$\prod (b+c-a)^{2}\geq \prod (b^{2}+c^{2}-a^{2})$
- Bài 19 : [Russia 1992]
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
$x^{4}+y^{4}+z^{2}\geq 2\sqrt{2}xyz$
- Bài 20 : [United Kingdom 1992]
Cho x, y, z, w là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$\frac{12}{x+y+z+w}\leq \sum_{sym}^{} \frac{1}{x+y}\leq \frac{3}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w} \right )$
Khi nào rảnh mình sẽ đăng tiếp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 19-11-2016 - 20:56