Chủ đề này có 1 trả lời

[tuanvu2503]

Trong mặt phẳng, cho một ngũ giác lồi ABCDE. Người ta tịnh tiến ngũ giác này theo các vectơ có cùng điểm đầu A, còn điểm cuối là B; C; D; E. Kết quả là ta được 4 ngũ giác mới. Chứng minh 4 ngũ giác này cùng ngũ giác đã cho, thế nào cũng có 2 ngũ giác có miền chung với diện tích dương.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanvu2503: 20-11-2016 - 20:17

[halloffame]

Giả sử trong $4$ ngũ giác tạo được, không có $2$ ngũ giác nào có miền chung với diện tích dương.

Ta xét ảnh của ngũ giác $ABCDE$ qua phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$

Gọi $T_{\overrightarrow{AB}}:B \rightarrow B',C \rightarrow C',D \rightarrow D',E \rightarrow E';T_{\overrightarrow{AC}}:C \rightarrow C'_1,D \rightarrow D'_1,E \rightarrow E'_1.$

Hiển nhiên $T_{\overrightarrow{AC}}(B)=C'$ và $C'$ là trung điểm $B'C'_1.$

Nếu $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}>180^0$ thì $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}>180^0.$ Khi đó $2$ ngũ giác $BB'C'D'E',CC'C'_1D'_1E'_1$ có miền trong chung là phần tô đỏ, miền này có diện tích dương. Điều này mâu thuẫn với giả sử, vì vậy $\widehat{ABC}+\widehat{BCD} \leq 180^0.$

Tương tự $\widehat{CDE}+\widehat{DEA} \leq 180^0     \Rightarrow \widehat{BAE} \geq 180^0$ (vô lí). Vậy điều giả sử là sai và ta có đpcm.

Spoiler

Tại sao người tạo chủ đề lại đặt tiêu đề cho bài này là "Nguyên lí Dirichlet" nhỉ?

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 06-12-2016 - 20:07