Giả sử trong $4$ ngũ giác tạo được, không có $2$ ngũ giác nào có miền chung với diện tích dương.
Ta xét ảnh của ngũ giác $ABCDE$ qua phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
Gọi $T_{\overrightarrow{AB}}:B \rightarrow B',C \rightarrow C',D \rightarrow D',E \rightarrow E';T_{\overrightarrow{AC}}:C \rightarrow C'_1,D \rightarrow D'_1,E \rightarrow E'_1.$
Hiển nhiên $T_{\overrightarrow{AC}}(B)=C'$ và $C'$ là trung điểm $B'C'_1.$
Nếu $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}>180^0$ thì $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}>180^0.$ Khi đó $2$ ngũ giác $BB'C'D'E',CC'C'_1D'_1E'_1$ có miền trong chung là phần tô đỏ, miền này có diện tích dương. Điều này mâu thuẫn với giả sử, vì vậy $\widehat{ABC}+\widehat{BCD} \leq 180^0.$
Tương tự $\widehat{CDE}+\widehat{DEA} \leq 180^0 \Rightarrow \widehat{BAE} \geq 180^0$ (vô lí). Vậy điều giả sử là sai và ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 06-12-2016 - 20:07