Chủ đề này có 3 trả lời

[Silverbullet069]

Cho a,b,c > 0. CMR: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + b} + 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 21-11-2016 - 15:43

[Mr Cooper]

Cho a,b,c > 0. CMR: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + b} + 1$

Ta viết lại bất đẳng thức trên thành:

 

\[\left( {\frac{a}{b} - \frac{a}{{b + c}}} \right) + \left( {\frac{b}{c} - \frac{b}{{b + c}}} \right) + \left( {\frac{c}{a} - \frac{c}{{a + b}}} \right) \ge \frac{b}{{a + b}} + 1 \Leftrightarrow \frac{{ca}}{{b\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{c\left( {b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{a\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{a + 2b}}{{a + b}}\]

 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

 

\[\frac{{ca}}{{b\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{c\left( {b + c} \right)}} = \frac{a}{{c\left( {b + c} \right)}}\left( {\frac{{{c^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{a}} \right) \ge \frac{a}{{c\left( {b + c} \right)}}.\frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{b + a}} = \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{c\left( {a + b} \right)}}\]

 

Bất đẳng thức trên tương đương với:

 

\[\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{c\left( {a + b} \right)}} + \frac{{bc}}{{a\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{a + 2b}}{{a + b}} \Leftrightarrow \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{c} + \frac{{bc}}{a} \ge a + 2b \Leftrightarrow \frac{{b{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{ca}} \ge 0\]

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c

[Nguyenphuctang]

Mình xin ghi rõ nguồn của bài toán: Belarus 1998

Lời giải:
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với b + c > 0. Ta viết lại như sau:

$\frac{a(b+c)}{b}+\frac{b(b+c)}{c}+\frac{c(b+c)}{a}\geq a+2b+c+\frac{(b+c)^{2}}{a+b}$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{b^{2}}{c}\geq b+c+\frac{(b+c)^{2}}{a+b}$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và Cauchy-Schwarz ta có : 

$\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq 2c;\frac{b^{2}}{c}+c\geq 2b;\frac{b^{2}}{b}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{(b+c)^{2}}{a+b}$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c > 0. CMR: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + b} + 1$

 

Viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau

\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} +1  \geqslant \frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + b} + 2,\]

hay là

\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} +1  \geqslant \frac{(a + 2b+c)^2}{(a+b)(b + c)},\]

hoặc

\[\frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{bc} + \frac{c^2}{ca} +\frac{b^2}{b^2}  \geqslant \frac{(a + b+c+b)^2}{ab+bc+ca+b^2}.\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.