Tính gần đúng giới hạn sau: lim$\left ( \frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}} \right )$
tính gần đúng giới hạn sau
#1
Đã gửi 22-11-2016 - 12:06
#2
Đã gửi 15-01-2017 - 15:58
Tính gần đúng giới hạn sau: lim$\left ( \frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}} \right )$
Ta nhận thấy
$$\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{(\sqrt{2})^{2k}}= \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{(\sqrt{2})^{2k-1}}.$$
Đặt $f_n(x)= \sum_{k=1}^{n} x^{2k-1}=x.\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}$ với $x\in (-1,1).$
Sự hội tụ "đặc biệt" của $f_n(x) \to g(x):=\frac{x}{1-x^2}$ khi $n\to \infty.$
Suy ra $$ \frac{1}{\sqrt{2}} f_n'\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\to \frac{1}{\sqrt{2}} g'\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)=3\sqrt{2}.$$
Do đó, giới hạn cần tìm bằng $3\sqrt{2}.$
Đời người là một hành trình...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh