Đến nội dung

Hình ảnh

Xác định vị trí điểm $M \in (O)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Cho hai điểm $A,B$ cùng nằm ở bên ngoài đường tròn $(O,r)$. Xác định vị trí điểm $M \in (O)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho hai điểm $A,B$ cùng nằm ở bên ngoài đường tròn $(O,r)$. Xác định vị trí điểm $M \in (O)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất

Xét $3$ trường hợp :

a) Đoạn thẳng $AB$ và $(O)$ có 2 điểm chung là $C$ và $D$ : Các điểm $M$ cần tìm chính là cả 2 điểm $C$ và $D$.

b) Đoạn thẳng $AB$ và $(O)$ có đúng 1 điểm chung là $C$ : Điểm $M$ cần tìm chính là điểm $C$.

c) Đoạn thẳng $AB$ và $(O)$ không có điểm chung : 

    Gọi $(E)$ là ellipse nhận $A$ và $B$ là các tiêu điểm và tiếp xúc ngoài với $(O)$

    Gọi tiếp điểm đó là $P$

    Gọi bán trục lớn của $(E)$ là $a$.

    Ta có : $PA+PB=2a$ (1)

    Với mọi điểm $Q\in (O)$ ($Q\not\equiv P$), vì $Q$ nằm ngoài $(E)$ nên $QA+QB> 2a$ (2)

    (1),(2) $\Rightarrow$ điểm $M$ cần tìm chính là tiếp điểm $P$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-11-2016 - 12:52

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Cháu suy nghĩ mãi mà vẫn chưa tìm ra cách dựng elip $(E)$ khi biết trước $O,A,B,r$. Bác giúp cháu với ạ


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho hai điểm $A,B$ cùng nằm ở bên ngoài đường tròn $(O,r)$. Xác định vị trí điểm $M \in (O)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất

Bài này nếu giải bằng phương pháp dựng hình thì mình chưa nghĩ ra, nhưng nếu giải bằng phương pháp giải tích kết hợp lượng giác thì có thể được.

ĐỀ : Cho 2 điểm $A,B$ cùng nằm bên ngoài đường tròn $(O,r)$ (các điểm $A,B,O$ có tọa độ cho trước).Hãy tìm điểm $M \in (O)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất ?

 

Để cho thuận tiện, ta xây dựng hệ tọa độ mới : Chọn $O$ làm gốc tọa độ mới, trục $Ox$ cùng phương với đường thẳng $AB$, chọn chiều dương của $Ox$ sao cho $y_A=y_B> 0$.

Từ tọa độ đã cho ban đầu, ta chuyển đổi sang tọa độ mới cũng chẳng khó khăn gì.Gọi tọa độ mới là $A(a_1,a_2)$ và $B(b_1,a_2)$ (chú ý $y_A=y_B=a_2$)

Như đã phân tích trên kia, điểm $M$ cần tìm là tiếp điểm của $(O)$ và $(E)$, nghĩa là tại $M$, $(O)$ và $(E)$ có chung tiếp tuyến.Gọi tiếp tuyến đó là $d$.Theo tính chất tiếp tuyến của ellipse, góc giữa $d$ và $AM$ cũng bằng góc giữa $d$ và $BM$.Suy ra đường thẳng $OM$ cũng là đường phân giác của góc $\widehat{AMB}$

Vậy nếu điểm $M$ nào đó trên đường tròn thỏa mãn điều kiện đường thẳng $OM$ cũng là đường phân giác góc $\widehat{AMB}$ thì đó chính là điểm cần tìm.

Lấy điểm $M\in (O)$.Tọa độ của $M$ có thể biểu diễn theo $t$ như sau $M(r\cos t,r\sin t)$ trong đó $t$ là góc giữa tia $OM$ và tia $Ox$.

Hệ số góc đường thẳng $MA$ là $\tan t_1=\frac{a_2-r\sin t}{a_1-r\cos t}$ trong đó $t_1$ là góc giữa vector $MA$ và tia $Ox$.

Hệ số góc đường thẳng $MB$ là $\tan t_2=\frac{a_2-r\sin t}{b_1-r\cos t}$ trong đó $t_2$ là góc giữa vector $MB$ và tia $Ox$.

Gọi $MC$ là đường phân giác trong của góc $\widehat{AMB}$ ($C$ thuộc đoạn $AB$) $\Rightarrow$ góc tạo bởi vector $MC$ và tia $Ox$ chính là góc $\frac{t_1+t_2}{2}$

$M$ là điểm cần tìm $\Rightarrow$ đường thẳng $OM$ trùng với đường thẳng $MC$ 

$\Rightarrow \tan\frac{t_1+t_2}{2}=\tan t\Rightarrow \tan(t_1+t_2)=\tan2t$ (1)

Mà $\tan(t_1+t_2)=\frac{\tan t_1+\tan t_2}{1-\tan t_1\tan t_2}=\frac{(a_2-r\sin t)(a_1+b_1-2r\cos t)}{(a_1-r\cos t)(b_1-r\cos t)-(a_2-r\sin t)^2}$ (2)

Đặt $\frac{a_2}{r}=P$ ; $\frac{a_1}{r}=Q$ ; $\frac{b_1}{r}=R$.Từ (1) và (2) ta có :

$\frac{(P-\sin t)(Q+R-2\cos t)}{(Q-\cos t)(R-\cos t)-(P-\sin t)^2}=\frac{\sin2t}{\cos2t}$

Giải phương trình này và chọn nghiệm $t$ thích hợp ($t$ nằm giữa $\arctan\frac{a_2}{a_1}$ và $\arctan\frac{a_2}{b_1}$).Từ đó xác định được tọa độ của $M$, sau đó chuyển đổi về hệ tọa độ ban đầu.(Việc giải phương trình lượng giác là khá phức tạp, nhưng về nguyên tắc, đó là loại phương trình có thể giải được)

 

-----------------------------------------------------------------------

Mình tên là Quốc, không phải Chánh.Mà bày đặt "bác, cháu" chi cho ... xa cách.Cứ "anh, em" hoặc "bạn" cho nó thân mật và thoải mái đi  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-11-2016 - 20:56

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh