Chủ đề này có 1 trả lời

[quanguefa]

Tìm f: R->R thỏa: $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$

[halloffame]

Đặt $g(x)=f(x)-1, \forall x \in \mathbb{R}.$ Khi đó phương trình hàm đã cho trở thành $g(x+y)+g(xy)=g(x)g(y)+g(x)+g(y).$ (1)

Nếu $g$ là hàm hằng thì $f(x) \equiv 1, \forall x \in \mathbb{R}.$ Giả sử $g$ khác hằng. Đặt $g(1)=a.$

Trong (1) thay $x=y=2 \Rightarrow g(2)=a^2+a.$

Trong (1) thay $x=1 \Rightarrow g(y+1)=g(y).a+a.$ (2)

Quy nạp $\Rightarrow g(n)=a^n+a^{n-1}+...+a, \forall  n \in \mathbb{N}.$

Mặt khác trong (1) thay $x=y=2 \Rightarrow g(4).2=g(2)^2+g(2).2.$

Do đó ta phải có $2(a^4+a^3+a^2+a)=(a^2+a)^2+2(a^2+a) \Rightarrow a \in \{ -1;0;1 \} .$

_Nếu $a=0$ thì thay vào (2) ta suy ra $g$ là hàm hằng, vô lí.

_Nếu $a=-1$ thì $g(2)=0.$ Trong (2) thay $y=-1 \Rightarrow g(-1)=-1.$

 Quy nạp, ta suy ra $g(2k)=0,g(2k+1)=-1, \forall k \in \mathbb{Z}.$

 Lại quy nạp từ (2) ta suy ra $g(y+2n)=g(y), \forall y \in \mathbb{R},n \in \mathbb{Z}.$

 Trong (1) thay $y=2n (n \in\mathbb{Z}) \Rightarrow g(2nx) \equiv 0, \forall x \in \mathbb{R},n \in \mathbb{Z}.$

 Do đó $g$ là hàm hằng, mâu thuẫn.

Vậy $g(1)=1.$ Quy nạp, ta được $g(n)=n, \forall n \in \mathbb{Z}.$

Quy nạp (2) suy ra $g(y+n)=g(y)+n, \forall n \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{R}.$

Trong (1) thay $y=n \in \mathbb{Z} \Rightarrow g(nx)=n.g(x), \forall n \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{R} \Rightarrow g(-x)=-g(x), \forall x \in \mathbb{R}.$

Trong (1) thay $y$ bởi $y-n(n \in \mathbb{Z}) \Rightarrow g(x)g(y)-g(x+y)+g(x)+g(y)=n.g(x)+g(xy-nx).$

Thay lại vào (1) ta được $g(xy-nx)=g(xy)-g(nx), \forall x,y \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}.$

Thay $n,y$ bởi $1, \frac{y}{x} \Rightarrow g(y-x)=g(y)-g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}, x \neq 0.$

Do $g(0)=0$ nên ta suy ra $g$ cộng tính trên $\mathbb{R}.$

Kết hợp (1) suy ra $g$ nhân tính trên $\mathbb{R}.$ Vậy $g(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}.$

Đến đây bạn tự làm tiếp nhé.