Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}x+y=3-xy \\ \frac{4}{5y+9}+\frac{4}{x+6}+\frac{1}{1+(x+1)(y+2)}=\frac{x+1}{2} \end{matrix}\right.$

[takarin1512]

Điều kiện xác định $x\neq -6;y\neq \frac{-9}{5}$

$\left\{\begin{matrix} x+y=3-xy\left ( 1 \right )\\ \frac{4}{5y+9}+\frac{4}{x+6}+\frac{1}{1+\left ( x+1 \right )\left ( y+2 \right )}=\frac{x+1}{2}\left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$

Từ $\left ( 1 \right )$, ta có $\left ( x+1 \right )\left ( y+2 \right )=x+5$ và $\left ( 5y+9 \right )\left ( x+1 \right )=4x+24\Rightarrow \frac{1}{5y+9}=\frac{x+1}{4x+24}$

Thay vào $\left ( 2 \right )$, ta được $\frac{x+1}{x+6}+\frac{4}{x+6}+\frac{1}{x+6}=\frac{x+1}{2}\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1$. 

Thử lại thấy nghiệm $\left ( x,y \right )=\left ( 1,1 \right )$ thỏa mãn hệ.

[Baoriven]

Ta có thể áp dụng mệnh đề quen thuộc sau:

$abc=1\Leftrightarrow \frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=1$

Từ phương trình $1$ ta có: $(x+1).(y+1).\frac{1}{4}=1$.

Đặt: $x+1=a,y+1=b,\frac{1}{4}=c$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}abc=1 \\ \frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=\frac{x+1}{2} \end{matrix}\right.$.

Suy ra: $\frac{x+1}{2}=1\Leftrightarrow x=1$.

Từ đó ta được: $y=1$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(1;1)$.