Đến nội dung

Hình ảnh

GHPT: $\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ ... \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$

 

Đây chẳng qua là bất đẳng thức:

      $\sum \frac{x}{x+yz}=\sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}$

    =\sum \frac{x(y+z)}{(x+y)(x+z)(y+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz}

    Cần C/m: $\frac{2(xy+yz+xz)}{xy+yz+xz-xyz}\leq \frac{9}{4} <=> 9xyz\leq xy+yz+xz <=> 9\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 03-12-2016 - 21:28


#3
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$

    $\sum \frac{x}{x+yz}=\sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}$

  = $\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(x+z)(y+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y+z)(xy+xz+yz)-xyz}$

  =\frac{2(xy+yz+xz)}{(xy+yz+xz)-xyz} 

 Cần đánh giá: 

             $\frac{2(xy+yz+xz)}{(xy+yz+xz)-xyz}\leq \frac{9}{4} <=>9xyz\leq x+y+z <=> 9\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

          (tới đây dùng bất đẳng thức quen thuộc) là ra Nghiệm là dấu bằng của bài 



#4
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Có thể sử dụng pp lượng giác hóa.

Từ phương trình $1$ ta biến đổi được: 

$\sqrt{\frac{xy}{z}}\sqrt{\frac{zx}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}\sqrt{\frac{yz}{x}}=1$

Đặt: $\sqrt{\frac{yz}{x}}=tan\frac{A}{2},\sqrt{\frac{zx}{y}}=tan\frac{B}{2},\sqrt{\frac{xy}{z}}=tan\frac{C}{2},0< A,B,C< \pi$.

Thế vào phương trình $1$ ta thu được: $A+B+C=\pi+k2\pi$.

Phương trình $2$ trở thành:

$cos^2\frac{A}{2}+cos^2\frac{B}{2}+cos^2\frac{C}{2}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow A=B=C=\frac{1}{3}$

Vậy $x=y=z=\frac{1}{3}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh