Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$
Đây chẳng qua là bất đẳng thức:
$\sum \frac{x}{x+yz}=\sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}$
=\sum \frac{x(y+z)}{(x+y)(x+z)(y+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz}
Cần C/m: $\frac{2(xy+yz+xz)}{xy+yz+xz-xyz}\leq \frac{9}{4} <=> 9xyz\leq xy+yz+xz <=> 9\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 03-12-2016 - 21:28
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x,y,z> 0 \\x+y+z=1 \\ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$
$\sum \frac{x}{x+yz}=\sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}$
= $\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(x+z)(y+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y+z)(xy+xz+yz)-xyz}$
=\frac{2(xy+yz+xz)}{(xy+yz+xz)-xyz}
Cần đánh giá:
$\frac{2(xy+yz+xz)}{(xy+yz+xz)-xyz}\leq \frac{9}{4} <=>9xyz\leq x+y+z <=> 9\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
(tới đây dùng bất đẳng thức quen thuộc) là ra Nghiệm là dấu bằng của bài
Có thể sử dụng pp lượng giác hóa.
Từ phương trình $1$ ta biến đổi được:
$\sqrt{\frac{xy}{z}}\sqrt{\frac{zx}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}\sqrt{\frac{yz}{x}}=1$
Đặt: $\sqrt{\frac{yz}{x}}=tan\frac{A}{2},\sqrt{\frac{zx}{y}}=tan\frac{B}{2},\sqrt{\frac{xy}{z}}=tan\frac{C}{2},0< A,B,C< \pi$.
Thế vào phương trình $1$ ta thu được: $A+B+C=\pi+k2\pi$.
Phương trình $2$ trở thành:
$cos^2\frac{A}{2}+cos^2\frac{B}{2}+cos^2\frac{C}{2}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow A=B=C=\frac{1}{3}$
Vậy $x=y=z=\frac{1}{3}$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh