Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}2x^2+y=x+xy+y^2-\sqrt{x-y} \\ \sqrt{x-1}+\sqrt{x+y}+1=x^2 \end{matrix}\right.$

[Zz Isaac Newton Zz]

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}2x^2+y=x+xy+y^2-\sqrt{x-y} \\ \sqrt{x-1}+\sqrt{x+y}+1=x^2 \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: $x+y\geq 0; x-1\geq 0; x+y\geq 0.$

$PT(1)\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})+(x^{2}-xy)-(x-y)+\sqrt{x-y}=0$ $\Leftrightarrow (x-y)(x+y)+x(x-y)-(x-y)+\sqrt{x-y}=0.$

Đặt $\sqrt{x-y}=t\geq 0,$ thì $PT(1)\Leftrightarrow t^{2}(x+y)+t^{2}x-t^{2}+t=0\Leftrightarrow t.(tx+ty+tx-t+1)=0\Leftrightarrow t.\left [ t(x+y)+t(x-1)+1 \right ]=0$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=0 & & \\ t(x+y)+t(x-1)+1=0 & & \end{matrix}\right.$ Dễ thấy $t(x+y)+t(x-1)+1=0$ vô nghiệm theo ĐKXĐ

Với $t=0\Leftrightarrow \sqrt{x-y}=0\Leftrightarrow x=y,$ thế vào $PT(2)$ ta được $\sqrt{y-1}+\sqrt{2y}+1=y^{2}$$\Leftrightarrow (\sqrt{y-1}-1)+(\sqrt{2y}-2)-(y^{2}-4)=0\Leftrightarrow \frac{y-2}{\sqrt{y-1}+1}+\frac{2(y-2)}{\sqrt{2y}+2}-(y-2)(y+2)=0\Leftrightarrow (y-2).\left ( \frac{1}{\sqrt{y-1}+1}+\frac{2}{\sqrt{2y}+2}-y-2 \right )=0.$ Dễ dàng đánh giá được biểu thức trong ngoặc nhỏ hơn không, từ đây suy ra $y=2.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y)=(2, 2).$