Chủ đề này có 1 trả lời

[quanguefa]

Cho $x,y,z\epsilon [0;2]$. Tìm GTLN của:

$P=\frac{1}{8}(2-x)(2-y)(4-z)+\sum \frac{x}{y+z+2}$

 

(chỗ kia số 4 nha, không phải mình chép lộn đề đâu =) )

[Baoriven]

Đặt: $x=2a;y=2b;z=2c$ thì $a,b,c \in [0;1]$.

Khi đó: $P=(1-a)(1-b)(2-c)+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}$.

Với mọi $a,b,c\in [0;1]$, ta có: $1-a\geq 0;1-b\geq 0;a+b+1\geq 1.$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$\frac{1-a+1-b+a+b+1}{3}\geq 3\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(a+b+1)}\Rightarrow (1-a)(1-b)(a+b+1)\leq 1$.

Từ đó ta có: $\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(2-c)\leq \frac{2}{a+b+1}$.

Mặt khác từ giả thiết ta có: $\frac{a}{b+c+1}\leq \frac{2a}{a+b+1}\Leftrightarrow a(b+2c+1-a)\geq 0$ (đúng).

Nên ta có: $P\leq \frac{2}{a+b+1}+\frac{2a}{a+b+1}+\frac{2b}{a+b+1}=2$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=0;c\in [0;1]$.

Vậy $MaxP=2$ khi $x=y=0;z\in [0;2]$.