Chủ đề này có 8 trả lời

[Cheese]

Bài 1: cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), phân giác BD (D thuộc AC). gọi M là điểm chính giữa cung ABC, đường tròn qua B, D, M cắt AB tại J, và K là điểm đối xứng của A qua J, N là giao điểm của AM và DK. Chứng minh rằng B,K,N,M nằm trên một đường tròn.

 

Bài 2 (bài này không nằm trong đề Azerbaijan TST 2015): 

cho (O1;R1) và (O2;R2) không cắt nhau. gọi A,B,C nằm trên 2 tiếp tuyến chung ngoài sao cho AB=AC. Đồng thời AB,AC là tiếp tuyến của (O1) và (O2). gọi H là trung điểm BC. CM AH=R1+R2

 

cảm ơn mọi người nhiều       

[trungdunga01]

Bài 1: cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), phân giác BD (D thuộc AC). gọi M là điểm chính giữa cung ABC, đường tròn qua B, D, M cắt AB tại J, và K là điểm đối xứng của A qua J, N là giao điểm của AM và DK. Chứng minh rằng B,K,N,M nằm trên một đường tròn.

 

Bài 2 (bài này không nằm trong đề Azerbaijan TST 2015): 

cho (O1;R1) và (O2;R2) không cắt nhau. gọi A,B,C nằm trên 2 tiếp tuyến chung ngoài sao cho AB=AC. Đồng thời AB,AC là tiếp tuyến của (O1) và (O2). gọi H là trung điểm BC. CM AH=R1+R2

 

cảm ơn mọi người nhiều       

Bài 1:

Gọi $X$ là trung điểm AC, khi đó $\angle DBM=\angle DXM =90^0$.

nên tứ giác $JDXB$ nội tiếp. suy ra $AJ.AB=AB.AX$ từ đó $AK.AB=AD.AC$ (do trung điểm)

suy ra tứ giác $KBCD$ nội tiếp hay $\angle AKD=\angle ACB=\angle AMB$ nên tứ giác $KNMB$ nội tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdunga01: 06-12-2016 - 21:08

[halloffame]

Bài 2 (bài này không nằm trong đề Azerbaijan TST 2015): 

cho (O1;R1) và (O2;R2) không cắt nhau. gọi A,B,C nằm trên 2 tiếp tuyến chung ngoài sao cho AB=AC. Đồng thời AB,AC là tiếp tuyến của (O1) và (O2). gọi H là trung điểm BC. CM AH=R1+R2

Bạn có thể chỉ rõ sự phân bố của các điểm $A,B,C$ trên các tiếp tuyến chung đó được không, vì nếu cả 3 điểm đó cùng thuộc 1 tiếp tuyến thì không phải bao giờ cũng có $AH=R_1+R_2.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 06-12-2016 - 21:14

[Cheese]

Bạn có thể chỉ rõ sự phân bố của các điểm $A,B,C$ trên các tiếp tuyến chung đó được không, vì nếu cả 3 điểm đó cùng thuộc 1 tiếp tuyến thì không phải bao giờ cũng có $AH=R_1+R_2.$

3 điểm đó nếu vẽ thuộc cùng 1 tiếp tuyến thì không vẽ được, mình nghĩ là hình sẽ như này này bạnhttp://imgur.com/JZ1np2G 
2 đường tròn không bằng nhau nhé, mình vẽ hơi nhầm chút.. 

[Cheese]

Bài 1:

Gọi $X$ là trung điểm AC, khi đó $\angle DBM=\angle DXM =90^0$.

nên tứ giác $JDXB$ nội tiếp. suy ra $AJ.AB=AB.AX$ từ đó $AK.AB=AD.AC$ (do trung điểm)

suy ra tứ giác $KBCD$ nội tiếp hay $\angle AKD=\angle ACB=\angle AMB$ nên tứ giác $KNMB$ nội tiếp

bạn có thể chỉ rõ cho mình tại sao XX là trung điểm AC, khi đó ∠DBM=∠DXM=900∠DBM=∠DXM=900 không? 

[lehakhiem212]

bạn có thể chỉ rõ cho mình tại sao XX là trung điểm AC, khi đó ∠DBM=∠DXM=900∠DBM=∠DXM=900 không? 

do BD đi qua trung điểm cung AC, M là trung điểm cung lớn AC nên DBM=90, mà do M là trung điểm cung AC nên A,X,Y thẳng hàng.Nên DXM=90

[Cheese]

do BD đi qua trung điểm cung AC, M là trung điểm cung lớn AC nên DBM=90, mà do M là trung điểm cung AC nên A,X,Y thẳng hàng.Nên DXM=90

bạn ơi điểm Y ở đâu vậy 

[lehakhiem212]

bạn ơi điểm Y ở đâu vậy 

nhầm, O đó

[IHateMath]

- Trường hợp $R_1=R_2$ là hiển nhiên.

- Trường hợp $R_1<R_2$. Gọi D là giao điểm của 2 tiếp tuyến chung ngoài. Ta kí kiệu độ dài các đoạn thẳng BH = HC = b, CD = c, AD = d, AB = AC = a. Ta có $(O_1)$ là đường tròn nội tiếp tam giác ACD, do đó:

$R_1=\frac{c+d-a}{2}.tan\frac{D}{2}$. (1)

Ta cũng có $(O_2)$ là đường tròn bàng tiếp góc D của tam giác DAB, do đó

$R_2=\frac{2b+c+d+a}{2}.tan\frac{D}{2}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

$R_1+R_2=(b+c+d).tan\frac{D}{2}$.

Ta cần chứng minh $AH=R_1+R_2$, hay là 

$d^2-(b+c)^2=(b+c+d)^2.tan^2\frac{D}{2}$.

Điều này tương đương với 

$d^2-(b+2)^2=(b+c+d)^2.\left(\frac{1-cosD}{1+cosD}\right)$ (3)

Mặt khác, do $cosD=\frac{b+c}{d}$, nên 

(3) $\Leftrightarrow d^2-(b+c)^2=(b+c+d)^2.\frac{d-b-c}{d+b+c}$

$\Leftrightarrow d^2-(b+c)^2=(d-b-c)(d+b+c)$,

hiển nhiên đúng. $\blacksquare$

P/s: Tính toán hơi nặng nề. Có ai có lời giải đẹp mắt hơn không?