Đến nội dung

Hình ảnh

Tích phân Chebyshev

* * * * * 2 Bình chọn tich phan huh ty

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Mình thấy các bạn thường hỏi mà cũng thường gặp loại tích phân sau ( rất hay gặp ):

$$F(m,n,p)=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$$

Gọi là tích phân hàm phân thức hữu tỷ , hoặc tích phân Chebyshev . Ông đã đưa ra các điều kiện để các nguyên hàm trên tính được . Cụ thể nó tính được bằng các phép toán đặt và các phép toán thông thường khi và chỉ khi nó rơi vào một trong ba trường hợp sau :

$1) p \in Z$

$2) \frac{m+1}{n} \in Z$

$3) \frac{m+1}{n}+p \in Z$

Ở đây nếu $b=0,n=0$ hiển nhiên tính được nên ta chỉ xét $b,n$ khác $0$ .

Trong từng trường hợp các phép đặt sau sẽ cho ta kết quả :

$1) p \in Z$

Trường hợp này đặt $x=t^{s}$ với $s$ là mẫu số chung của hai số $m,n$ . Về cơ bản phép đặt này rút gọn khai triển nhị thức .

$2) \frac{m+1}{n} \in Z$

Chúng ta sẽ đặt

$$a+bx^{n}=t$$

$$x=(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}}$$

$$dx = \frac{1}{n}(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}-1}dt$$

$$F(m,n,p)=\frac{1}{n}b^{-\frac{m+1}{n}}\int t^{p}(t-a)^{\frac{m+1}{n}-1}dt$$

Đến đây đưa về trường hợp đầu .

$3) \frac{m+1}{n} + p \in Z$

$$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx = \int x^{m+np} (ax^{-n}+b)^{p}dx$$

Ta có

$$\frac{m+np+1}{-n}=-(\frac{m+1}{n}+p) \in Z$$

Đến đây về trường hợp thứ hai . Cụ thể là phép đặt :

$$ax^{-n}+b=t$$

Nguồn :

Bài tập toán cao cấp - tập $1$ - A.G.Popop


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 06-12-2016 - 18:50

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
nguyenlyninhkhang

nguyenlyninhkhang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Bạn có file bài tập không cho mình xin ?



#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Bài tập dạng này rất nhiều mà bạn

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
Isidia

Isidia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Bạn có file bài tập không cho mình xin ?

 

Nguyên bản tiếng Nga của sách của bạn bangbang đây:

 

http://www.novsu.ru/file/1059139

 

Trang 232.

 

Quyển ấy viết như vầy:

 

Tích phân của vi phân nhị thức ( дифференциальных биномов - Binomial differentials):  $\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$ với m,n.p là các số hữu tỷ.

 

Bài tập nằm ở trang dưới.

 

Chứng minh của ông Chebyshef nằm ở phần VIII của bài nghiên cứu "Sur l'integration des differentiels irrationelles" (Về tích phân của những vi phân hữu tỷ) (trang 106) in trong Tạp San Nghiên Cứu Toán Học Thuần Túy và Ứng Dụng (1853) (Journal de Mathématique pures et appliquées): 

 

sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1853_1_18_A5_0.pdf

 

Chebyshef nghiên cứu dựa trên kết quả của Abel:

https://archive.org/...age/92/mode/2up


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isidia: 26-09-2017 - 07:02

There is no mathematical model that can predict your future or tell you how your life will unfold. All strength and power lies within your soul, and that's all what you need.


#5
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Cuốn này có bản dịch tiếng Việt , một trong những quyển đầu tiên dẫn dắt mình đến việc học toán . Nói đến dựa trên kq của Abel cũng không lạ vì hồi xưa toàn làm tp Elliptic


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 26-09-2017 - 17:48

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#6
Isidia

Isidia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

 Nói đến dựa trên kq của Abel cũng không lạ vì hồi xưa toàn làm tp Elliptic

Yup! Cái hình "còng số 8" của ông Bernoulli (leminiscate, người Tàu gọi là song nữu tuyến (双纽线), "nữu" () là cái quai, ý là đường quai đôi).

 

Cassini-Bernoulli-Fagnano-Euler-Legendre-Abel rồi tới ông Jacobi đáng kính. 


There is no mathematical model that can predict your future or tell you how your life will unfold. All strength and power lies within your soul, and that's all what you need.


#7
toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết

 

Mình thấy các bạn thường hỏi mà cũng thường gặp loại tích phân sau ( rất hay gặp ):

$$F(m,n,p)=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$$

Gọi là tích phân hàm phân thức hữu tỷ , hoặc tích phân Chebyshev . Ông đã đưa ra các điều kiện để các nguyên hàm trên tính được . Cụ thể nó tính được bằng các phép toán đặt và các phép toán thông thường khi và chỉ khi nó rơi vào một trong ba trường hợp sau :

$1) p \in Z$

$2) \frac{m+1}{n} \in Z$

$3) \frac{m+1}{n}+p \in Z$

Ở đây nếu $b=0,n=0$ hiển nhiên tính được nên ta chỉ xét $b,n$ khác $0$ .

Trong từng trường hợp các phép đặt sau sẽ cho ta kết quả :

$1) p \in Z$

Trường hợp này đặt $x=t^{s}$ với $s$ là mẫu số chung của hai số $m,n$ . Về cơ bản phép đặt này rút gọn khai triển nhị thức .

$2) \frac{m+1}{n} \in Z$

Chúng ta sẽ đặt

$$a+bx^{n}=t$$

$$x=(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}}$$

$$dx = \frac{1}{n}(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}-1}dt$$

$$F(m,n,p)=\frac{1}{n}b^{-\frac{m+1}{n}}\int t^{p}(t-a)^{\frac{m+1}{n}-1}dt$$

Đến đây đưa về trường hợp đầu .

$3) \frac{m+1}{n} + p \in Z$

$$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx = \int x^{m+np} (ax^{-n}+b)^{p}dx$$

Ta có

$$\frac{m+np+1}{-n}=-(\frac{m+1}{n}+p) \in Z$$

Đến đây về trường hợp thứ hai . Cụ thể là phép đặt :

$$ax^{-n}+b=t$$

Nguồn :

Bài tập toán cao cấp - tập $1$ - A.G.Popop 

dòng này có bị lỗi không anh nhỉ? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 28-11-2018 - 21:32

"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh