Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$
Tìm bộ số thỏa mãn
#1
Đã gửi 07-12-2016 - 18:48
#2
Đã gửi 07-12-2016 - 22:19
$m^{3}+n^{3}-4\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)mn+4\vdots m^{2}+n^{2}$
$m^{3}+n^{3}-4+3mn(m+n)+12\vdots m^{2}+n^{2} => (m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2}$
=> 2TH:
TH1 $m+n\vdots m^{2}+n^{2}$ Suy ra m=n=1 vì nếu m,n>1 ta dễ chứng minh $m^{2}+n^{2}$$>=m+n
TH2: $2mn-2m-2n+4\vdots m^{2}+n^{2} => 2mn-2m-2n+4\geq m^{2}+n^{2} => 4+2mn>2mn-2m-2n+4>m^{2}+n^{2} => 4>(m-n)^{2}$
(dễ dàng tìm được m,n)
Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 07-12-2016 - 22:21
#3
Đã gửi 07-12-2016 - 22:25
$m^{3}+n^{3}-4\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)mn+4\vdots m^{2}+n^{2}$
$m^{3}+n^{3}-4+3mn(m+n)+12\vdots m^{2}+n^{2} => (m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2}$
=> 2TH:
TH1 $m+n\vdots m^{2}+n^{2}$ Suy ra m=n=1 vì nếu m,n>1 ta dễ chứng minh $m^{2}+n^{2}$$>=m+n
TH2: $2mn-2m-2n+4\vdots m^{2}+n^{2} => 2mn-2m-2n+4\geq m^{2}+n^{2} => 4+2mn>2mn-2m-2n+4>m^{2}+n^{2} => 4>(m-n)^{2}$
(dễ dàng tìm được m,n)
đoạn màu đỏ vì sao lại được như vậy bạn
- that bai yêu thích
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
#5
Đã gửi 08-12-2016 - 19:44
Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$
Nhận thấy $m=n=1$ là $1$ nghiệm
Ta có xét $m>1,n>1$
$m^3+n^3=(m+n)(m^2+n^2-mn)=(m+n)(p-mn) \Rightarrow mn(m+n)+4 \vdots p$
$\Rightarrow m^3+n^3+3mn(m+n)+8 \vdots p$
Hay $(m+n+2)(m^2+2mn+n^2-2m-2n+4) \vdots p$
TH1 : $m+n+2 \vdots p$
$m+n+2 \vdots m^2+n^2$
$\Leftrightarrow m^2+n^2=m+n+2$...
TH2 : $2mn-2m-2n+4 \vdots p=m^2+n^2$
Mầ $2mn-2m-2n+4<2mn-2-2+4 \le m^2+n^2$
$\Leftrightarrow 2mn-2m-2n+4=0$...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 08-12-2016 - 19:45
#6
Đã gửi 12-12-2016 - 11:28
$m^2+n^2|(m^2+n^2)(m+n)-mn(m+n)-4$ nên $m^2+n^2|mn(m+n)+4$(1)
Từ đó $m^2+n^2 \leq m^2n +n^2m+4$(2)
Nếu cả 2 số $m,n$ cùng bằng 1 thì (1) thỏa mãn và $m^2+n^2=2$ cũng thỏa mãn.
Ngược lại, KMTTQ giả sử $m>1$
Ta viết lại (2) như sau
$n^2(m-1)+nm^2-m^2+4 \leq 0$
Xét $\Delta$ theo $n$ thì
$\Delta = m^4+4m^3-4m^2-16m+16 \leq 0$ Rõ ràng bất phương trình này vô nghiệm nguyên dương với $m>1$.
Vậy $m=n=1$ là nghiệm duy nhất.
Xử lí theo cách này có thể không dùng điều kiện nguyên tố.
- I Love MC yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh