Chủ đề này có 10 trả lời

[Baoriven]

Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :

$P=\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}$

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :

$P=\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}$

Ta có: $\frac{ab}{3+c^{2}}\leq \frac{(a+b)^{2}}{4(3+c^{2})}=\frac{(3-c)^{2}}{4(3+c^{2})}\leq \frac{-3}{8}(c-1)+\frac{1}{4}$ (phương pháp tiếp tuyến).

Tương tự ta cũng có: $\frac{bc}{3+a^{2}}\leq \frac{(b+c)^{2}}{4(3+a^{2})}=\frac{(3-a)^{2}}{4(3+a^{2})}\leq \frac{-3}{8}(a-1)+\frac{1}{4}.$

$\frac{ca}{3+b^{2}}\leq \frac{(c+a)^{2}}{4(3+b^{2})}=\frac{(3-b)^{2}}{4(3+b^{2})}\leq \frac{-3}{8}(b-1)+\frac{1}{4}.$

+Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức ta được:

$P\leq \frac{-3}{8}(a+b+c-3)+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$

Vậy $P_{max}=\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow a=b=c=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 07-12-2016 - 20:48

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :

$P=\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}$

Ta có: $\frac{ab}{3+c^{2}}\leq \frac{(a+b)^{2}}{4(3+c^{2})}=\frac{(3-c)^{2}}{4(3+c^{2})}\leq \frac{-3}{8}(c-1)+\frac{1}{4}$ (phương pháp tiếp tuyến).

Tương tự ta cũng có: $\frac{bc}{3+a^{2}}\leq \frac{(b+c)^{2}}{4(3+a^{2})}=\frac{(3-a)^{2}}{4(3+a^{2})}\leq \frac{-3}{8}(a-1)+\frac{1}{4}.$

$\frac{ca}{3+b^{2}}\leq \frac{(c+a)^{2}}{4(3+b^{2})}=\frac{(3-b)^{2}}{4(3+b^{2})}\leq \frac{-3}{8}(b-1)+\frac{1}{4}.$

+Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức ta được:

$P\leq \frac{-3}{8}(a+b+c-3)+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$

Vậy $P_{max}=\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow a=b=c=1.$

[Baoriven]

Bạn hãy thử với $a=b=1.3;c=0.4$. 

Mới đầu mình cũng nghĩ theo hướng này nhưng lại thấy ko đúng. 

[Dark Repulsor]

Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :

$P=\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}$

Bài này còn $1$ dấu "$=$" khác là $a=b=\frac{3}{2}$, $c=0$ và các hoán vị (Hồi ở trường Đông a Huyện có cho bài này nhưng chưa lm đc  )

[nhatkinan]

Ta có: $\frac{ab}{3+c^{2}}\leq \frac{(a+b)^{2}}{4(3+c^{2})}=\frac{(3-c)^{2}}{4(3+c^{2})}\leq \frac{-3}{8}(c-1)+\frac{1}{4}$ (phương pháp tiếp tuyến).

Tương tự ta cũng có: $\frac{bc}{3+a^{2}}\leq \frac{(b+c)^{2}}{4(3+a^{2})}=\frac{(3-a)^{2}}{4(3+a^{2})}\leq \frac{-3}{8}(a-1)+\frac{1}{4}.$

$\frac{ca}{3+b^{2}}\leq \frac{(c+a)^{2}}{4(3+b^{2})}=\frac{(3-b)^{2}}{4(3+b^{2})}\leq \frac{-3}{8}(b-1)+\frac{1}{4}.$

+Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức ta được:

$P\leq \frac{-3}{8}(a+b+c-3)+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$

Vậy $P_{max}=\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow a=b=c=1.$

bạn có lời giải khác cho hs lớp 9 10 kh

[Nguyenhuyen_AG]

Ta có: $\frac{ab}{3+c^{2}}\leq \frac{(a+b)^{2}}{4(3+c^{2})}=\frac{(3-c)^{2}}{4(3+c^{2})}\leq \frac{-3}{8}(c-1)+\frac{1}{4}$ (phương pháp tiếp tuyến).

 

Thật ra thì ta có chiều ngược lại

\[\frac{(3-c)^{2}}{4(3+c^{2})} \geqslant -\frac{3}{8}(c-1)+\frac{1}{4}.\]

 

[quanguefa]

Ban đầu thử tìm điểm rơi mình phát hiện BĐT có 2 điểm rơi là tại biên và tại tâm. GTLN là 3/4. Với dạng ntn ý tưởng đầu tiên là đôn biến. Mình thử dồn và đã đưa về được trường hợp 2 biến a=b (c=min(a,b,c)). Sau đó rút từ giả thiết thì thu được hàm một biến. Rất tiết tới đây hàm ngược dấu???

Điều kì lạ này khiến mình phải thử kiểm tra lại đề bài, và rất tiếc với giá trị a=b=1.2 ; c=0.6 thì bài toán đã sai!

Kết luận đề sai????

[Nguyenhuyen_AG]

Bài này còn $1$ dấu "$=$" khác là $a=b=\frac{3}{2}$, $c=0$ và các hoán vị (Hồi ở trường Đông a Huyện có cho bài này nhưng chưa lm đc  )

 

Bài của anh ra ở Trường Đông là bài khác.

 

Ban đầu thử tìm điểm rơi mình phát hiện BĐT có 2 điểm rơi là tại biên và tại tâm. GTLN là 3/4. Với dạng ntn ý tưởng đầu tiên là đôn biến. Mình thử dồn và đã đưa về được trường hợp 2 biến a=b (c=min(a,b,c)). Sau đó rút từ giả thiết thì thu được hàm một biến. Rất tiết tới đây hàm ngược dấu???

Điều kì lạ này khiến mình phải thử kiểm tra lại đề bài, và rất tiếc với giá trị a=b=1.2 ; c=0.6 thì bài toán đã sai!

Kết luận đề sai????

 

Bài của bạn Baoriven yêu cầu là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ thì sao lại sai đề ? Giá trị lớn nhất của bài này là $\frac{11\sqrt{33} - 45}{24}.$

[quanguefa]

Nhưng nếu đề với kết quả max như thế thì sao làm được ạ! Anh có thể giải chi tiết giúp em???

[manhtuan00]

bài này sử dụng phương pháp dồn biến 
http://thaytoan.net/...h-bat-dang-thuc

trang 16 bài số 4