Chủ đề này có 2 trả lời

[quanguefa]

Tìm hằng số thực k tốt nhất cho bất đẳng thức sau: 

$\sum \frac{ab}{(a+b)^2}+k\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{4}+\frac{k}{3}$

Với a, b, c là các số thực không âm tùy ý.

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm hằng số thực k tốt nhất cho bất đẳng thức sau: 

$\sum \frac{ab}{(a+b)^2}+k\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{4}+\frac{k}{3}$

Với a, b, c là các số thực không âm tùy ý.

Cho $a=b, c=0$ thế vào bất đẳng thức ta được $\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\geq \frac{3}{4}+\frac{k}{3}\Leftrightarrow k\geq 3.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $k$ là $k=3.$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với $k=3,$ thế vào bất đẳng thức ta được:

$\frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{bc}{(b+c)^{2}}+\frac{ca}{(c+a)^{2}}+\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{7}{4}.$ Tới đây chỉ cần chứng minh bất đẳng thức này đúng $\forall a, b, c\in \mathbb{R}$ và không âm.

+Hiện tại, bất đẳng thức này em chưa chứng minh được, ai làm được mong mọi người làm hộ ạ...  

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a=b, c=0$ thế vào bất đẳng thức ta được $\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\geq \frac{3}{4}+\frac{k}{3}\Leftrightarrow k\geq 3.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $k$ là $k=3.$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với $k=3,$ thế vào bất đẳng thức ta được:

$\frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{bc}{(b+c)^{2}}+\frac{ca}{(c+a)^{2}}+\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{7}{4}.$ Tới đây chỉ cần chứng minh bất đẳng thức này đúng $\forall a, b, c\in \mathbb{R}$ và không âm.

+Hiện tại, bất đẳng thức này em chưa chứng minh được, ai làm được mong mọi người làm hộ ạ...  

 

Câu này là đề Trường Đông miền nam 2015 có thể dùng Cauchy-Schwarz. http://diendantoanho...-kiểm-tra-số-1/