Chủ đề này có 3 trả lời

[Master Kaiser]

Cho x,y,z là các số thực dương .

Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{x^{2}}{x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+\left ( x+z \right )^{2}}+\frac{z^{2}}{z^{2}+\left ( y+x \right )^{2}}$

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho x,y,z là các số thực dương .

Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{x^{2}}{x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+\left ( x+z \right )^{2}}+\frac{z^{2}}{z^{2}+\left ( y+x \right )^{2}}$

Vì bất đẳng thức là thuần nhất nên chuẩn hóa $x+y+z=3$ do đó bất đẳng thức  

$\Leftrightarrow P=\frac{x^{2}}{x^{2}+(3-x)^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+(3-y)^{2}}+\frac{z^{2}}{z^{2}+(3-z)^{2}}$

Mà $\frac{x^{2}}{x^{2}+(3-x)^{2}}\geq \frac{12}{25}(x-1)+\frac{1}{5}$ ( Phương pháp tiếp tuyến )

Tương tự ta cũng có $\frac{y^{2}}{y^{2}+(3-y)^{2}}\geq \frac{12}{25}(y-1)+\frac{1}{5}$

                                     $\frac{z^{2}}{z^{2}+(3-z)^{2}}\geq \frac{12}{25}(z-1)+\frac{1}{5}$

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được:

$P\geq \frac{12}{25}(x+y+z-3)+\frac{3}{5}=\frac{3}{5}.$ Vậy $P_{min}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=y=z.$

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho x,y,z là các số thực dương .

Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{x^{2}}{x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+\left ( x+z \right )^{2}}+\frac{z^{2}}{z^{2}+\left ( y+x \right )^{2}}$

Cách khác:

Áp dụng các bất đẳng thức cơ bản sau: $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ và $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9.$

Ta có: $P\geq \frac{x^{2}}{x^{2}+2(y^{2}+z^{2})}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2(z^{2}+x^{2})}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2(x^{2}+y^{2})}=\sum \frac{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})-\left [ x^{2}+2(y^{2}+z^{2}) \right ]}{x^{2}+2(y^{2}+z^{2})}$$=2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left ( \frac{1}{x^{2}+2(y^{2}+z^{2})}+\frac{1}{y^{2}+2(z^{2}+x^{2})}+\frac{1}{z^{2}+2(x^{2}+y^{2})} \right )-3=\frac{2}{5}.5(x^{2}+y^{2}+z^{2}).\left ( \sum \frac{1}{x^{2}+2(y^{2}+z^{2})} \right )=\frac{2}{5}.\left [ (x^{2}+2(y^{2}+z^{2}))+(y^{2}+2(z^{2}+x^{2}))+(z^{2}+2(x^{2}+y^{2}))\right ].\left ( \sum \frac{1}{x^{2}+2(y^{2}+z^{2})} \right )-3\geq \frac{2}{5}.9-3=\frac{3}{5}.$ Vậy $P_{min}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=y=z.$

[QWEFJAS]

1 cách khác đơn giản hơn nha~~:

 Áp dụng bđt Bunhiacôpxki dạng Engel:

 P$\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^4+\sum x^2(y+z)^2}$

Ta cần C/m:

$\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^4+\sum x^2(y+z)^2}$$\geq \frac{3}{5}$

 $\Leftrightarrow 5(\sum x^4)+10(\sum x^2y^2)\geq 3(\sum x^4)+6(\sum x^2y^2)+6(x^2yz+y^2xz+z^2xy)$

$\Leftrightarrow (\sum x^4)+2(\sum x^2y^2)\geq 3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)$ 

Áp dụng bổ để:$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

 $\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\geq x^2yz+y^2xz+z^2xy$

 Suy ra điều phải chứng minh đúng!!

Dấu = xảy ra khi x=y=z