Chủ đề này có 7 trả lời

[Element hero Neos]

Bài 1.

Tìm x, y nguyên dương và p nguyên tố thoả mãn $x^5+x^4+1=p^y$

Bài 2.

Tìm x,y nguyên thoả mãn $x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$

Bài 3.

Tim x,y nguyên thoả mãn $(x^2-y^2)^2=1+16y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 08-12-2016 - 19:29

[yeutoan2001]

Bài 1.

Tìm x, y nguyên dương và p nguyên tố thoả mãn $x^5+x^4+1=p^y$

Bài 2.

Tìm x,y nguyên thoả mãn $x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$

Bài 3.

Tim x,y nguyên thoả mãn $(x^2-y^2)^2=1+16y$

 

Câu1: $x^{5}+x^{4}+1=p^{y} <=> (x^{3}-x+1)(x^{2}+x+1)=p^{y}$

    Xét 2TH:  

               TH1: Tồn tại một thừa số bằng 1 

                TH2: $x^{3}-x+1=p^{a}  (1) ;x^{2}+x+1=p^{b}$ (2)  (với a,b>=1) 

                             $x^{3}-x^{2}-2x=p^{a}-p^{b} <=> x(x^{2}-x-2)\vdots p$

                                 Dễ thấy x không chia hết cho p vì nếu x chia hết cho p  theo (1) thì p=1(vô lí) 

                                   Vậy $x^{2}-x-2\vdots p <=> (x-2)(x+1)\vdots p$ 

                                                   $x\equiv 2 (mod p)$

                                                   Theo 2 ta có: $x^{2}+x+1\equiv 7 (mod p)$ => p=7 và thử lại 

                                             Tương tự với TH còn lại 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 08-12-2016 - 20:05

[Dark Magician 2k2]

Bài 2.

Tìm x,y nguyên thoả mãn $x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$

Ta có

$x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$

$\Leftrightarrow 8x^3+84x^2+420x+784=y^3$

Nếu $a\geq 0$ thì ta có đánh giá

$(2x+7)^3\leq y^3\leq (2x+10)^3$

   Đến đây xét $\begin{bmatrix} y=2x+8\\ y=2x+9 \end{bmatrix}$ (Đều vô nghiệm)

Nếu $a<0$ thì ta có nhận xét

$P(x)=-P(-x-7)$

   Do đó, nếu $(x,y)$ là nghiệm thì $(-x-7;-y)$ cũng là nghiệm. Suy ra $-x-7<0\Rightarrow -6\leq x\leq -1$, thử chọn.

Vậy ...

[Dark Magician 2k2]

Câu1: $x^{5}+x^{4}+1=p^{y} <=> (x^{3}-x+1)(x^{2}+x+1)=p^{y}$

Tới đây sẽ tồn tại một thừa số =1 và làm tiếp 

Làm sai rồi, $p$ là số nguyên tố chứ $p^y$ đâu có nguyên tố?

Đến bước này phải đặt $\left\{\begin{matrix} x^3-x+1=p^a\\ x^2+x+1=p^b \end{matrix}\right.,a,b\in\mathbb{N}, a+b=y$ rồi giải tiếp.

[yeutoan2001]

Bài 1.

Tìm x, y nguyên dương và p nguyên tố thoả mãn $x^5+x^4+1=p^y$

Bài 2.

Tìm x,y nguyên thoả mãn $x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$

Bài 3.

Tim x,y nguyên thoả mãn $(x^2-y^2)^2=1+16y$

             BÀi 3:Dễ thấy x>=y và chia làm ba trường hợp 

                      Xét x=y => 1+16y=0 (loại) 

                        Xét x=y+1 Dễ dàng tìm ra y 

                         Xét $x\geq y+2 => x^{2}-y^{2}\geq y^{2}+4y+4-y^{2}=4y+4 => (x^{2}-y^{2})^{2}\geq 16(y+1)^{2}> 16y+1$

[Dark Magician 2k2]

             BÀi 3:Dễ thấy x>=y và chia làm ba trường hợp 

                      Xét x=y => 1+16y=0 (loại) 

                        Xét x=y+1 Dễ dàng tìm ra y 

                         Xét $x\geq y+2 => x^{2}-y^{2}\geq y^{2}+4y+4-y^{2}=4y+4 => (x^{2}-y^{2})^{2}\geq 16(y+1)^{2}> 16y+1$

Nếu $x<y$ thì sao? Tại sao có $x\geq y$?

[LinhToan]

             BÀi 3:Dễ thấy x>=y và chia làm ba trường hợp 

                      Xét x=y => 1+16y=0 (loại) 

                        Xét x=y+1 Dễ dàng tìm ra y 

                         Xét $x\geq y+2 => x^{2}-y^{2}\geq y^{2}+4y+4-y^{2}=4y+4 => (x^{2}-y^{2})^{2}\geq 16(y+1)^{2}> 16y+1$

vì sao x>=y ??????? 

[halloffame]

             BÀi 3:Dễ thấy x>=y và chia làm ba trường hợp 

                      Xét x=y => 1+16y=0 (loại) 

                        Xét x=y+1 Dễ dàng tìm ra y 

                         Xét $x\geq y+2 => x^{2}-y^{2}\geq y^{2}+4y+4-y^{2}=4y+4 => (x^{2}-y^{2})^{2}\geq 16(y+1)^{2}> 16y+1$

Bổ sung cho bạn trường hợp $x^2 \leq y^2.$ 

Ta tính được cụ thể với các trường hợp $y=2,3,4.$

Xét $y \geq 5.$ Khi đó $x^2$ là số chính phương nhỏ hơn $y^2,$ nên:

$VT \geq (y^2-(y-1)^2)^2=(2y-1)^2=4y^2-4y+1 \geq 20y-4y+1=VP.$