Chủ đề này có 1 trả lời

[tien123456789]

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\frac{2}{3x+2y+z+1}+\frac{2}{3x+y+2z+1}= (x+y)(x+z)$.Tìm max của P=$\frac{2(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}-16}{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tien123456789: 08-12-2016 - 22:47

[phamngochung9a]

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\frac{2}{3x+2y+z+1}+\frac{2}{3x+y+2z+1}= (x+y)(x+z)$.Tìm max của P=$\frac{2(x+3)^{2}+y^{2}+z^{2}-16}{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Lâu rồi mới thấy anh Bí đăng bài 

 

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

 

$\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )\geq \frac{8}{6x+3y+3z+2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a & \\ x+z=b & \end{matrix}\right.$, ta có:

 

$ab\geq \frac{8}{3a+3b+2}\Rightarrow \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}\geq \frac{8}{3\left ( a+b \right )+2}\Rightarrow a+b\geq 2$

 

$\Rightarrow y+z\geq 2-2x$

• Nếu $x\geq 1$ thì: 

$P=\frac{12x+2}{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}+1< \frac{1+6x}{x^{2}}+1=\frac{1}{x^{2}}+\frac{6}{x}+1\leq 8$

• Nếu $x<1$ thì: 

Ta có: $\left ( y+z \right )^{2}\geq 4\left ( x-1 \right )^{2}$

 

$P=\frac{12x+2}{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}+1\leq \frac{12x+2}{2x^{2}+\frac{\left ( y+z \right )^{2}}{2}}+1\leq \frac{12x+2}{2x^{2}+\frac{\left ( 2-2x \right )^{2}}{2}}+1=\frac{6x+1}{2x^{2}-2x+1}+1$

 

Xét hàm số $f\left ( t \right )=\frac{6t+1}{2t^{2}-2t+1}$ trên $\left ( 0;1 \right )$ có:

 

$f'(t)=\frac{-12t^{2}-4t+8}{\left ( 2t^{2}-2t+1 \right )^{2}}=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}$

 

$\Rightarrow P\leq f\left ( \frac{2}{3} \right )+1=10$

 

Vậy $\max P=10\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2}{3} & & \\ y=\frac{1}{3} & & \\ z=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-12-2016 - 20:02