Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 12 môn toán tỉnh Thái Bình 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình 2016-2017

Câu 1. (4 điểm)

1. Cho hàm số $y=\dfrac{mx^3}{3}+(m-1)x^2+(4-3m)x+9$ có đồ thị là $(C_m)$, $m$ là tham số. Tìm $m$ để trên $(C_m)$ có duy nhất một điểm với hoành độ âm sao cho tiếp tuyến của $(C_m)$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $(d): x+2y=0$.

2. Cho hàm số $y=\dfrac{x^4}{8}-(2k-1)x^2+k+3$ có đồ thị là $(C_k)$, $k$ là tham số. Tìm $k$ để $(C_k)$ có ba điểm cực trị phân biệt và ba điểm này cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

 

Câu 2. (2 điểm)

Giải phương trình

$$\dfrac{4\cos x\cos ^2 \left (x+\dfrac{\pi}{2} \right)-\sin \left (x+\dfrac{\pi}{6}\right )}{2\cos 2x-1}=0.$$

Câu 3. (2 điểm)
Lớp $12A$ có $7$ học sinh giỏi gồm $5$ nam và $2$ nữ, lớp $12B$ có $10$ học sinh giỏi gồm $6$ nam và $4$ nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp $2$ học sinh giỏi dự đại hội thi đua. Tính xác suất để trong $4$ học sinh được chọn có $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ.

Câu 4. (2 điểm)
Tính đạo hàm của hàm số sau tại $x=0$

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{e^{\cos 2016x-\cos 2017x}-1}{x}~ \text{khi $x\ne 0$}  &  & \\ 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{khi $x= 0$}  &  &  \end{matrix}\right.$$
 
Câu 5. (2 điểm)
Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với đỉnh $C(4;3)$. Biết trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ là $(d_1): x+2y-5=0$ và đường cao kẻ từ đỉnh $B$ là $(d_2): 4x+13y-10=0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $AB$.
 
Câu 6. (3 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. $AB=a>0,AD=b>0$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$.
1. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
2. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x(0<x<2a)$. Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
 
Câu 7. (3 điểm)
Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-x^2y+(y+1)x-y^2-y=0  &  & \\ \sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{y}=a  &  &  \end{matrix}\right.$$

 

Câu 8. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\dfrac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\dfrac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge \sqrt{5}(a+b+c).$$

 

---Hết---


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-12-2016 - 15:06


#2
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

 

Câu 8. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\dfrac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\dfrac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge \sqrt{5}(a+b+c).$$

 

---Hết---

 

Áp dụng liên tiếp $AM-GM$ và $C-S$ ta có:
$$\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2  \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2  \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2}  \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}$$
 
Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.


#3
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

 

Câu 7. (3 điểm)
Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-x^2y+(y+1)x-y^2-y=0  &  & \\ \sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{y}=a  &  &  \end{matrix}\right.$$

 

ĐK: $y\ge 0$

$$pt(1)\Leftrightarrow (x-y)(x^2+y+1)=0\Leftrightarrow x=y\ge 0$$

Thay vào $pt(2)$ ta có:

$$\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}=a$$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}, ~x\ge 0$

$$\begin{align*} f'(x)=\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{(x^2+1)^3}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}&=\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{x^6+3x^4+3x^2+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ &<\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{3x^2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ &=\left ( \dfrac{1}{4\sqrt[4]{3}}-\dfrac{1}{2} \right )\dfrac{1}{\sqrt{x}}<0 \end{align*}$$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $[0,+ \infty)$

$f(0)=1$, $\lim_{x\rightarrow + \infty} f(x)=0$
Vậy $0<a\le 1$


#4
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Câu 2: Đk: $cos(2x)\ne \frac{1}{2}$.

Khi đó: $pt\iff 4cos(x)cos^2(x+\frac{\pi}{2})-sin(x+\frac{\pi}{6})=0$

$\iff 4cos.sin^2(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)+\frac{1}{2}cos(x)$.

$\iff 4cos(x)(1-cos^2(x))=\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)+\frac{1}{2}cos(x)$

$\iff -cos(3x)=\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)-\frac{1}{2}cos(x)\iff cos(3x+\pi)=cos(x-\frac{2\pi}{3})$.

$\iff x=\frac{-5\pi}{6}+k\pi....v....x=\frac{-\pi}{12}+k\pi(x\in \mathbb{Z})$.

Thử lại ta được $x=\frac{-\pi}{12}+k\pi(k\in \mathbb{Z})$ .

Câu 3: Theo đề ta có: $|\Omega|=C_7^2.C_10^2$.

Xảy ra 3 TH:

TH1: [2M(A);2F(B)]: $s_1=C_5^2.C_4^2=60$.

TH2: [2F(A);2M(B)]: $s_1=C_6^2.C_2^2=15$.

TH3: [1F(A);1F(B);1M(A);1M(B)]: $s_3=10.24=240$.

Vậy $P=\frac{s_1+s_2+s_3}{|\Omega|}=\frac{315}{945}=\frac{1}{3}$.

                       


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 10-12-2016 - 20:58


#5
NTH 52

NTH 52

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

 

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình 2016-2017

Câu 1. (4 điểm)

1. Cho hàm số $y=\dfrac{mx^3}{3}+(m-1)x^2+(4-3m)x+9$ có đồ thị là $(C_m)$, $m$ là tham số. Tìm $m$ để trên $(C_m)$ có duy nhất một điểm với hoành độ âm sao cho tiếp tuyến của $(C_m)$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $(d): x+2y=0$.

2. Cho hàm số $y=\dfrac{x^4}{8}-(2k-1)x^2+k+3$ có đồ thị là $(C_k)$, $k$ là tham số. Tìm $k$ để $(C_k)$ có ba điểm cực trị phân biệt và ba điểm này cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

 

Câu 2. (2 điểm)

Giải phương trình

$$\dfrac{4\cos x\cos ^2 \left (x+\dfrac{\pi}{2} \right)-\sin \left (x+\dfrac{\pi}{6}\right )}{2\cos 2x-1}=0.$$

Câu 3. (2 điểm)
Lớp $12A$ có $7$ học sinh giỏi gồm $5$ nam và $2$ nữ, lớp $12B$ có $10$ học sinh giỏi gồm $6$ nam và $4$ nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp $2$ học sinh giỏi dự đại hội thi đua. Tính xác suất để trong $4$ học sinh được chọn có $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ.

Câu 4. (2 điểm)
Tính đạo hàm của hàm số sau tại $x=0$

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{e^{\cos 2016x-\cos 2017x}-1}{x}~ \text{khi $x\ne 0$}  &  & \\ 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{khi $x= 0$}  &  &  \end{matrix}\right.$$
 
Câu 5. (2 điểm)
Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với đỉnh $C(4;3)$. Biết trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ là $(d_1): x+2y-5=0$ và đường cao kẻ từ đỉnh $B$ là $(d_2): 4x+13y-10=0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $AB$.
 
Câu 6. (3 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. $AB=a>0,AD=b>0$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$.
1. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
2. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x(0<x<2a)$. Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
 
Câu 7. (3 điểm)
Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-x^2y+(y+1)x-y^2-y=0  &  & \\ \sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{y}=a  &  &  \end{matrix}\right.$$

 

Câu 8. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\dfrac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\dfrac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge \sqrt{5}(a+b+c).$$

 

---Hết---

Câu 1 ý, 3 cực trị và gốc tọa độ sao tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật được nhỉ?



#6
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

 

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình 2016-2017

Câu 6. (3 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. $AB=a>0,AD=b>0$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$.
1. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
2. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x(0<x<2a)$. Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

 

1,

 

Dễ thấy $d(C, (SBD))=d(A,(SBD))$

 

Kẻ $AI \perp BD, AH \perp SI \rightarrow AH \perp (SBD)$

 

$\rightarrow d(A,(SBD))=AH=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}}}=\dfrac{2ab}{\sqrt{5b^2+4a^2}}$

 

 

 

2,

 

Xét 2 mp: $(MBC)$ và $(SAD)$ có $BC // AD$ nên đường thẳng qua $M$ cắt $SD$ tại $K$ là giao tuyến 2 mp

 

Ta có: $V_{SABCD}=\dfrac{2a^2b}{3} \rightarrow V_{SMKCB}=\dfrac{a^2b}{3}$ (1)

 

Cm được $BC \perp (SAB) \rightarrow BC \perp MB \rightarrow MKBC$ là hình thang vuông tại $B$ và $M$

 

Ta tính được các yếu tố độ dài sau: $MK=\dfrac{2a-x}{2a}; \ MB=\sqrt{a^2+x^2}$

 

$\rightarrow S_{MKBC}=\dfrac{b(4a-x)\sqrt{x^2+a^2}}{4a}$ (2)

 

Kẻ $AO \perp BM$ mà  $AO \perp BC$ vì [$BC \perp (SAB)$] $\rightarrow AO \perp (KMBC)$

 

Tính được $AO=\dfrac{xa}{\sqrt{x^2+a^2}}$

 

Mà: $\dfrac{d(S,MKBC)}{d(A,MKBC)}=\dfrac{SM}{MA} \rightarrow d(S,MKBC)=\dfrac{a(2a-x)}{\sqrt{x^2+a^2}}$ (3)

 

Ta có: $(1)=(2).(3)=3V_{SMKCB} \iff a^2b=\dfrac{b(4a-x)(2a-x)}{4}$

 

$\iff 4a^2=(4a-x)(2a-x)$

 

$\iff 4a^2-6ax+x^2=0$

 

$\iff x=(3-\sqrt{5})a$ (vì $0<x<2a)$

 

Vậy $x=(3-\sqrt{5})a$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 14-12-2016 - 13:41

Don't care


#7
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

 

Câu 1 ý, 3 cực trị và gốc tọa độ sao tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật được nhỉ?

Tại sao không nhỉ?

$B$ và $C$ đối xứng nhau qua trục $Oy$

$A$ là cực trị nằm trên trục $Oy$

và $O$ là gốc tọa độ



#8
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

chỉ e cách tư duy ra đoạn này được không a 

 

Áp dụng liên tiếp $AM-GM$ và $C-S$ ta có:
$$\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2  \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2  \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2}  \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}$$
 
Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

 


Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#9
Puisunjouronestledumonde

Puisunjouronestledumonde

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Câu 3. (2 điểm)
Lớp 12A có 7 học sinh giỏi gồm 5 nam và 2 nữ, lớp 12B có 10 học sinh giỏi gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp 2 học sinh giỏi dự đại hội thi đua. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ.

Số pt KGM: $\left | \Omega \right |=C_{7}^{2}.C_{10}^{2}$

Ta có 2 TH:

+Chọn 2 nam cùng lớp:

12A: ta có $C_{5}^{2}.C_{4}^{2}$ cách

12B  ta có $C_{6}^{2}.C_{2}^{2}$ cách

+Chọn mỗi lớp 1 nam+1 nữ:

có $C_{5}^{1}.C_{2}^{1}.C_{6}^{1}.C_{4}^{1}$

XS cần tìm:

$\frac{C_{5}^{2}.C_{4}^{2}+C_{6}^{2}.C_{2}^{2}+C_{5}^{1}.C_{2}^{1}.C_{6}^{1}.C_{4}^{1}}{C_{7}^{2}.C_{10}^{2}}=$



#10
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

Áp dụng liên tiếp $AM-GM$ và $C-S$ ta có:

$$\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2  \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2  \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2}  \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}$$
 
Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

chỉ e cách tư duy ra đoạn này được không a 

BĐT Bunhia em ạ.

$$\left ( x^2+y^2+z^2+t^2 \right )\left [ \left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2 \right ]\ge \left [ x\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )+\dfrac{by\sqrt{3}}{2}+az+tc \right ]^2$$
Dấu bằng xảy ra khi: $\dfrac{a+\dfrac{b}{2}}{x}=\dfrac{\dfrac{b\sqrt{3}}{2}}{y}=\dfrac{a}{z}=\dfrac{c}{t}$
Coi $a=b=c=1$ thì ta có kết quả trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 20-12-2016 - 12:34





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh