Chủ đề này có 2 trả lời

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Chứng minh sự hội tụ của dãy:  

   $x_{n}=\frac{1}{1^{2}+1}+\frac{1}{2^{2}+1}+\frac{1 }{3^{2}+1}+...+\frac{1}{n^{2}+1}$

[MariaNgo]

Dùng tiêu Cauchy, ta có:

 

Với $n,p\in \mathbb{N}$

 

$\left | x_{n+p}-x_{n} \right |=\frac{1}{(n+1)^{2}+1}+...+\frac{1}{(n+p)^{2}+1}\leq \frac{1}{(n+1)^{2}}+...+\frac{1}{(n+p)^{2}}\leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}$

 

Do đó : $\left | x_{n+p}-x_{n} \right |\leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}\leq \frac{1}{n}$

 

Lấy $\epsilon > 0$ tùy ý, chọn số tự nhiên N sao cho $\frac{1}{\epsilon }< N$ . Khi đó với mọi $n\geq N$ , với mọi $p\in \mathbb{N}$ ta có:

 

$\left | x_{n+p}-x_{n} \right |\leq \frac{1}{n}\leq \frac{1}{N}< \epsilon$

 

Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MariaNgo: 12-12-2016 - 11:39

[halloffame]

Hiển nhiên $(x_{n})$ là dãy tăng.

Ta có $\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.$

$\Rightarrow x_n<\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-.....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}<\frac{3}{2},\forall n \in \mathbb{N^*}.$

Vậy $(x_{n})$ bị chặn trên, do đó nó hội tụ.