Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh các Bất đẳng thức sau

lớp 9

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Chaosemperordragon

Chaosemperordragon

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

1, Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. CMR:

$ \sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(a+b)} \geq 3\sqrt{2abc} $

2, Cho a>b>c>0. CMR:

$ a+\frac{108}{(a-b)^{3}(b-c)^{2}c} \geq 7 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chaosemperordragon: 16-12-2016 - 18:42


#2
Lyness

Lyness

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

1/ Chia hai vế BĐT cho $\sqrt{2abc}$

Ta có $\sum \sqrt{\frac{a+b}{2ab}}\geq \sum \sqrt{\frac{2\sqrt{ab}}{2ab}}=\sum \frac{1}{\sqrt[4]{ab}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt[4]{ab}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{a}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a+b+c)}}=3$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1



#3
Lyness

Lyness

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

2/ Áp dụng BĐT Cauchy 7 số

$S\doteq 3.\frac{a-b}{3}+2.\frac{b-c}{2}+c+\frac{108}{(a-b)^{3}(b-c)^{2}c}\geq 7$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a-b}{3}=\frac{b-c}{2}=c\Leftrightarrow \frac{a}{6}=\frac{b}{3}=c$



#4
cyndaquil

cyndaquil

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

 

$ a+\frac{108}{(a-b)^{3}(b-c)^{2}c} \geq 7 $

Dùng bdt cosi cho 7 số dương:

$\mathit{VT=\frac{a-b}3+\frac{a-b}3+\frac{a-b}3+\frac{b-c}2+\frac{b-c}{2}+c+\frac{108}{(a-b)^3(b-c)^2c}}$
$\ge 7\sqrt[7]{\frac{(a-b)^3(b-c)^2c.108}{3^3.2^2(a-b)^3(b-c)^2c}}=7$


#5
Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Câu 1:

Áp dụng Cauchy

$LHS\geq 3[abc(a+b)(b+c)(c+a)]^\frac{1}{6}\geq 3(abc8a^2b^2c^2)^\frac{1}{6}=3(8a^3b^3c^3)^\frac{1}{6}=RHS$

Câu 2: 

Ta có

$LHS=\frac{1}{3}(a-b)+\frac{1}{3}(a-b)+\frac{1}{3}(a-b)+\frac{1}{2}(b-c)+\frac{1}{2}(b-c)+c+\frac{108}{(a-b)^3(b-c)^2c}$

Áp dụng Cauchy có dpcm


Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 9

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh