Chủ đề này có 1 trả lời

[ageofgultron]

Tìm dãy (un) có các số hạng đầu:

a. 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,21,23,25...

b. 1,4,4,9,9,9,16,16,16,16,...

c. 1,2,4,3,5,7,4,6,8,10,5,7,9,11,13,... 

[hxthanh]

Tìm dãy (un) có các số hạng đầu:
a. 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,21,23,25...
b. 1,4,4,9,9,9,16,16,16,16,...
c. 1,2,4,3,5,7,4,6,8,10,5,7,9,11,13,...

Những dãy số nguyên dạng này rất hay!
Câu a.
Có thể thấy dãy đã cho tăng nghiêm ngặt và được bố trí theo từng nhóm
(1),(2,4),(5,7,9),(10,12,14,16),...
Nhóm 1 có 1 số hạng, nhóm 2 có 2 số hạng,... nhóm $k$ có $k$ số hạng.
Nhóm $k$ chẵn có các số chẵn, nhóm $k$ lẻ có các số lẻ.
Các số hạng trong mỗi nhóm cách nhau 2 đơn vị.
Dễ dàng chứng minh được
$u_n=2n-k$ Với $k$ là số thứ tự của nhóm chứa số hạng $u_n$.
Nếu $u_n$ thuộc nhóm $k$ thì chỉ số của nó phải thỏa mãn
$(1+2+...+(k-1))+1\leq n <(1+2+...+k)+1$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{8n-7}-1}{2} <k\leq \frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}$
Hay $k=\left\lfloor \frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right\rfloor$
Như vậy, công thức tổng quát của dãy đã cho là:
$$u_n=2n-\left\lfloor \frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right\rfloor$$
Câu b.
Nhóm tương tự như trên đối với câu b. ta thấy ngay:
$u_n=k^2=\left\lfloor \frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right\rfloor^2$
Câu c.
Nhóm lại ta có dãy:
(1),(2,4),(3,5,7),(4,6,8,10),...
Nhóm $k$ có $k$ số hạng
Số hạng đầu tiên của nhóm $k$ chính là $k$
Các số hạng trong một nhóm cách nhau 2 đơn vị
Nên:
$u_n=k+2(n-1-(1+2+...+(k-1)))=2n-1-(k-1)^2$
Lập luận tương tự ta có $k=\left\lfloor \frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right\rfloor$
Do đó $$u_n=2n-1-\left\lfloor \frac{\sqrt{8n-7}-1}{2}\right\rfloor^2$$
Bài đề xuất:
d. Tìm số hạng tổng quát của dãy
$\{u_n\}_{n\geq 1}:\; 2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,26,...$