Chủ đề này có 1 trả lời

[haptrung]

Người ta xếp 4 viên bi cùng bán kính 1 vào trong một hinh nón sao cho ba viên bi đầu tiếp xúc với đáy của hình nón. Viên bi thứ tư tiếp xúc với cả ba viên bi vừa đặt. Các viên bi đều tiếp xúc với đường sinh hình nón. Tính thể tích khối nón

( Bài toán trên có thể tổng quát cho các bi theo quy luật nào)

[chanhquocnghiem]

Người ta xếp 4 viên bi cùng bán kính 1 vào trong một hinh nón sao cho ba viên bi đầu tiếp xúc với đáy của hình nón. Viên bi thứ tư tiếp xúc với cả ba viên bi vừa đặt. Các viên bi đều tiếp xúc với đường sinh hình nón. Tính thể tích khối nón

( Bài toán trên có thể tổng quát cho các bi theo quy luật nào)

Bổ sung thêm đề bài : Mỗi viên bi đều tiếp xúc với cả $3$ viên bi còn lại.

----------------------------------

 

Gọi tâm $3$ viên bi tiếp xúc với đáy khối nón là $A,B,C$.Tâm viên bi còn lại là $D$.Tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều cạnh bằng $2$.

Gọi $I$ là tâm tam giác đều $ABC$ ; $O$ là tâm của đáy khối nón ; $S$ là đỉnh khối nón.Ta có :

$IA=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Tam giác $DIA$ vuông tại $I\Rightarrow ID=\sqrt{AD^2-IA^2}=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Gọi $2\alpha$ là góc ở đỉnh của mặt nón $\Rightarrow \sin\alpha =\frac{IA}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ; $\tan\alpha =\frac{IA}{ID}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$DS=\frac{r}{\tan\alpha }=\frac{1}{\tan\alpha }=\sqrt{3}$ ($r=1$ là bán kính viên bi)

Chiều cao khối nón là $h=OS=OI+ID+DS=1+\frac{2\sqrt{6}}{3}+\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}+2\sqrt{6}+3}{3}$

Bán kính đáy của khối nón là $R=h\tan\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\ h\Rightarrow R^2=\frac{h^2}{2}$

Thể tích khối nón là :

$V=\frac{\pi}{3} R^2h=\frac{\pi}{6}h^3=\frac{\pi}{6}\left ( \frac{3\sqrt{3}+2\sqrt{6}+3}{3} \right )^3=\frac{(81+54\sqrt{2}+63\sqrt{3}+44\sqrt{6})\pi }{27}$