Chủ đề này có 1 trả lời

[conanthamtulungdanhkudo]

Cho tứ diện ABCD.Trên AB,AC,AD lần lượt lấy M,N,P sao cho AB=kAM,AC=kAN,AD=(k+1)AP(k$\geq$1) Chứng minh (MNP) luôn chứa 1 đường thẳng cố định

[vkhoa]

Cho tứ diện ABCD.Trên AB,AC,AD lần lượt lấy M,N,P sao cho AB=kAM,AC=kAN,AD=(k+1)AP(k$\geq$1) Chứng minh (MNP) luôn chứa 1 đường thẳng cố định

Bổ đề: Cho tam giác ABC, M nằm trên AB sao cho AB =kAM, N nằm trên AC sao cho AC =(k +1)AN, k$\geq$1. CHứng minh MN đi qua một điểm cố định

Cm bổ đề:

$\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AN}$

$=\frac1k\overrightarrow{BA} +\frac1{k +1}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{(k +1)\overrightarrow{BA} -k\overrightarrow{CA}}{k(k +1)}$

$=\frac{\overrightarrow{BA} +k\overrightarrow{BC}} {k(k +1)}$ (1)

Trên AC lấy điểm F sao cho FA =k .FC

ta có $\overrightarrow{BF} =\frac{\overrightarrow{BA} +k\overrightarrow{BC}}{k +1}$ (2)

từ (1, 2)$\Rightarrow\overrightarrow{MN} =\frac1k\overrightarrow{BF}$ (3)

gọi D là trung điểm AC (4)

gọi E là điểm sao cho ABCE là hình bình hành 

$\Rightarrow$ D là trung điểm BE(5)

mặt khác $\frac{CF}{CA} =\frac{CF}{AF +CF} =\frac1{k +1} =\frac{AN}{AC}$

$\Leftrightarrow AN =CF$ (6)

từ (4, 6)$\Rightarrow$ D là trung điểm NF(7)

từ (5, 7)$\Rightarrow$ BNEF là hình bình hành

$\Rightarrow\overrightarrow{BF} =\overrightarrow{NE}$ (8)

từ (3, 8)$\Rightarrow\overrightarrow{MN} =\frac1k\overrightarrow{NE}$

$\Rightarrow$ MN luôn đi qua điểm E cố định(đpcm)

Cminh bài toán:

Lần lượt lấy các điểm E, F sao cho ABDE, ACDF là các hình bình hành

theo bổ đề, ta có MP luôn đi qua E, NP luôn qua F

mà E, F cố định

$\Rightarrow$ (MNP) luôn chứa đường thẳng EF cố định(đpcm)