Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Cho $m \leq 2$ là số nguyên.$n$ nguyên dương được gọi là tốt nếu với mọi $a$ nguyên dương mà $(a,n)=1$ thì $n|(a^{m}-1)$.

                Chứng minh: nếu $n$ tốt thì $n \leq 4m(2^{m}-1).$

                                                                         ( Romani MO 2004)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 29-10-2017 - 14:04

[I Love MC]

Xét : 
+) $m$ lẻ . Giả sử $n$ là tốt  ,chọn $a=n-1$ thì có $n|(n-1)^m-1 \Rightarrow n|2 \Rightarrow n \le 2 <4m(2^m-1)$ 
+) Nếu $m$ chẵn thì đặt $m=2^tq,t \ge 1 ,(q,2)=1$ 
Giả sử $n$ tốt thì đặt $n=2^u(2v+1),(u,v \in \mathbb{N})$ 
Nếu $v=0 \Rightarrow n=2^u$ ,chọn $a=4k+3 \Rightarrow (a,n)=1$ ta có 
$2^u=n(a^m-1) \Rightarrow u \le v_2(a^m-1)=v_2(a-1)+v_2(m)-1=1+t \Rightarrow t \ge u-1 \Rightarrow n<4m(2^m-1)$ 
Nếu $v \ge 1 \Rightarrow 2v-1>0 ,(2v-1,n)$. Chọn $a=2v-1$ ta dược  $2v+1 \le 2^m-1$  (1)
Chọn $a=8v+5 \Rightarrow (a,n)=1$ khi đó 
$2^u|n|(a^m-1)=(a^q)^{2^t}-1 \Rightarrow 2^u|(a^q-1)(a^q+1)...(a^{2^t-1q}+1)$ 
Do $q$ lẻ $a^q \equiv 5 \pmod{q},a^{2^iq} \equiv 5 \pmod{q},i=\overline{1,t-1}$ 
Từ đó ta có $u \le v_2[(a^q-1)(a^q+1)...(a^{2^t-1q}+1)] \Rightarrow u \le v_2(a^q-1)+v_2(a^q+1)+\sum_{i=1}^{t-1} v_2(a^{2^iq}+1)=t+2$ 
$\Rightarrow 2^u \le 4.2^t$ (2) 
Từ (1),(2) có đpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 25-12-2016 - 21:53