Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$
Nguyễn Phúc Tăng
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$
Nguyễn Phúc Tăng
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$
Nguyễn Phúc Tăng
Sử dụng bất đẳng thức phụ sau: $m^{2}+n^{2}\geq 2mn.$
Ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+6bc}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+6ca}\geq \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+3(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+3(b^{2}+c^{2})}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+3(c^{2}+a^{2})}=\frac{1}{4}\left ( \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}} +\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}} \right ).$
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}.$
$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}=\frac{a(a^{2}+b^{2})-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b(b^{2}+c^{2})-bc^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c(c^{2}+a^{2})-ca^{2}}{c^{2}+a^{2}}=(a+b+c)-\left ( \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca^{2}}{c^{2}+a^{2}} \right )\geq (a+b+c)-(\frac{ab^{2}}{2ab}+\frac{bc^{2}}{2bc}+\frac{ca^{2}}{2ca})=(a+b+c)-\frac{(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}.$( Kĩ thuật $Cauchy$ ngược dấu ). Từ đây dễ dàng suy ra $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}.$
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$
Nguyễn Phúc Tăng
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có :
$\sum \frac{a^3}{a^2+b^2+6ab} \geq \frac{(a+b+c)^3}{6(\sum a^2+\sum 3ab)} \geq \frac{(a+b+c)^3}{8(a+b+c)^2}=\frac{a+b+c}{8}$
Q.E.D...
Dài mà hay tuy nhiên có thể làm giống bạn Royal hoặc sử dụng bô đề belarus 2000 mình onl = iPad nên k gõ latex dcSử dụng bất đẳng thức phụ sau: $m^{2}+n^{2}\geq 2mn.$
Ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+6bc}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+6ca}\geq \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+3(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+3(b^{2}+c^{2})}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+3(c^{2}+a^{2})}=\frac{1}{4}\left ( \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}} +\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}} \right ).$
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}.$
$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}=\frac{a(a^{2}+b^{2})-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b(b^{2}+c^{2})-bc^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c(c^{2}+a^{2})-ca^{2}}{c^{2}+a^{2}}=(a+b+c)-\left ( \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca^{2}}{c^{2}+a^{2}} \right )\geq (a+b+c)-(\frac{ab^{2}}{2ab}+\frac{bc^{2}}{2bc}+\frac{ca^{2}}{2ca})=(a+b+c)-\frac{(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}.$( Kĩ thuật $Cauchy$ ngược dấu ). Từ đây dễ dàng suy ra $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}.$
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$
Nguyễn Phúc Tăng
Chú ý rằng $a^2+6ab+b^2 = (a+b)^2 + 4ab \leqslant 2(a+b)^2.$ Do đó ta chỉ cần chứng minh
\[\sum \frac{a^3}{(a+b)^2} \geqslant \frac{a+b+c}{4},\]
hay là
\[\sum \left[\frac{a^3}{(a+b)^2} +\frac{a+b}{8}+\frac{a+b}{8} - \frac{3a}{4}\right] \geqslant 0.\]
hoặc
\[\sum \frac{(2a+b)(a-b)^2}{4(a+b)^2} \geqslant 0.\]
Chú ý rằng $a^2+6ab+b^2 = (a+b)^2 + 4ab \leqslant 2(a+b)^2.$ Do đó ta chỉ cần chứng minh
\[\sum \frac{a^3}{(a+b)^2} \geqslant \frac{a+b+c}{4},\]
hay là
\[\sum \left[\frac{a^3}{(a+b)^2} +\frac{a+b}{8}+\frac{a+b}{8} - \frac{3a}{4}\right] \geqslant 0.\]
hoặc
\[\sum \frac{(2a+b)(a-b)^2}{4(a+b)^2} \geqslant 0.\]
Chắc phải có những bài chặt chẽ hơn như
$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tdngvif: 27-12-2016 - 03:33
Diễn đàn bất đẳng thức http://batdangthuc.ga/. Like Fanpage TIF
Tổng hợp đề thi bất đẳng thức năm 2016 http://batdangthuc.g...dang-thuc-2016/
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh