Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

$( Iran$ $2013)$ Tồn tại hay không các số nguyên dương $a, b, c$ sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ chia hết cho $2013(ab+bc+ca)$ $?$ 

[I Love MC]

Nhận xét một số chia $3$ dư $2$ phải có ít nhất một ước nguyên tố cũng có dạng như vậy 
Ở đây ta sẽ chứng minh không tồn tại $a,b,c$ nguyên dương sao cho $3(ab+bc+ac)|a^2+b^2+c^2$ là đủ
Giả sử ngược lại ,đặt $a^2+b^2+c^2=3n(ab+bc+ac)$ với $n$ là số nguyên dương suy ra $(a+b+c)^2=(3n+2)(ab+bc+ac)$ 
Gọi $p$ là một ước số nguyên tố của $3n+2$ sao cho $p \equiv 2 \pmod{3}$ . Dễ thấy $v_p(3n+2)$ lẻ suy ra tồn tại $i$ nguyên dương sao cho 
$v_p(3n+2)=2i-1$ . Vì $(a+b+c)^2 \vdots (3n+2) \Rightarrow p^i|(a+b+c) \Rightarrow p|(ab+bc+ac) \Leftrightarrow p|(ab-(a+b)(a+b) \Leftrightarrow p|(2a+b)^2+3b^2$ 
Suy ra $(\frac{-3}{p})=1 \Rightarrow p \equiv 1 \pmod{6}$ (vô lí)