Chủ đề này có 1 trả lời

[Element hero Neos]

Bài 1. Tìm x,y nguyên không âm sao cho $(y+1)^x-1=y!$

Bài 2. Tìm x,y,z,t nguyên không âm sao cho $2^x.3^y-5^z.7^t=1$

Bài 3. Tìm m,n nguyên dương khác $1$ sao cho $m|a^n-1,\forall a=\overline{1,n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 24-12-2016 - 22:12

[I Love MC]

Bài 1 : Để cho tiện việc dễ nhìn đề thì phương trình trên tương đương với việc giải nghiệm ko âm của $(x+1)^y-1=x!$ 
Xét $x=1 \Rightarrow y=1$ 
$x=2 \Rightarrow y=1$ 
$x=3 \Rightarrow y=\varnothing$ 
$x=4 \Rightarrow y=5$ 
Xét $x>4$ khi đó ta có $x!+1>x+1$ mà $(x+1)^y=x!+1>x+1 \Rightarrow y>1$ . Phương trình viết lại $(x+1)^y=x!+1$ 
Nếu $x$ lẻ thì thì $VT$ chẵn còn $VP$ lẻ nên ko thể xảy ra được  
Nếu $x$ chẵn suy ra $x$ là hợp số ($x>2$) nên đặt $x=ab$ với $1<a<b<x$ . Dễ thấy $x|(x-1)!$  
Ta có $(x+1)^y-1=C_y^1x+C_y^2x^2+...+C_y^yx^y \Rightarrow (x-1)!=C_y^1+C_y^2+..+C_y^yx^{y-1}$ 
Suy ra $x|y \Rightarrow y \ge x$ mà $(x+1)^x>x!+1$ với $x>4$ từ đó suy ra $(x+1)^y>x!+1$ (vô lí)
Vậy $(x,y)=(1,1),(2,1),(4,5)$