Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyentinh]

1/ Cho $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn  $f\left ( f\left ( n \right ) \right )=f\left ( n+1 \right )+f\left ( n \right ),\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. Chứng minh $f$ là đơn ánh.

2/ Tìm  $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn 

i/  $f\left ( 2 \right )=2$ và $ f\left ( mn \right )=f\left ( m \right )f\left ( n \right ),\forall m,n \in \mathbb{N}^{*}$

ii/ $f\left ( 2 \right )=2$ và  $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right )f\left ( n \right ),\forall m,n \in \mathbb{N}^{*}:\left ( m,n \right )=1$

[manhtuan00]

Bài 1 :

Giả sử tồn tại $a, m$ sao cho $f(a) = f(a+m)=k$

Khi đó ta có : $f(f(a))-f(a) = f(a+1)= f(k)  - k = f(f(a+m))-f(a+m) = f(a+m+1)$

Vậy $f(a+1) = f(a+m+1)$

Tương tự ta có $f(a+2) = f(a+m+2)$, ... $f(a+m) =f(a+2m)$

Vậy $f$ tuần hoàn chu kì $m$ nên $f$ bị chặn trên

Kí hiệu $f_k(n) = f(f(f(...(m))...)$

Ta có $f_2(n) = f(n+1)+f(n) \geq f(n)+1$

Bằng quy nạp ta có $f_k(n) \geq f_{k-1}(n)+1$

$\implies f_k(n) \geq k$

Cho $k$ tiến tới dương vô cùng ta có $f$ không bị chặn nên có điều mâu thuẫn. Vậy $f$ đơn ánh