Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Cho x, y, z>0. CMR:

$\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{z+x}{x+2y+z}+\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq 2$



#2
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Đặt $x+y=a,y+z=b,z+x=c$. Ta có: $x=\dfrac{a+c-b}{2},y=\dfrac{a+b-c}{2},z=\dfrac{b+c-a}{2}$ do đó BĐT tương đương $\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc} \leq 2$(đúng)


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3
Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Đặt $x+y=a,y+z=b,z+x=c$. Ta có: $x=\dfrac{a+c-b}{2},y=\dfrac{a+b-c}{2},z=\dfrac{b+c-a}{2}$ do đó BĐT tương đương $\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc} \leq 2$(đúng)

sao cái bđt tương đương đó lại đúng vậy bạn?



#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Đặt $x+y=a,y+z=b,z+x=c$. Ta có: $x=\dfrac{a+c-b}{2},y=\dfrac{a+b-c}{2},z=\dfrac{b+c-a}{2}$ do đó BĐT tương đương $\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc} \leq 2$(đúng)

 

Với phép đặt này thì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC$ nào đó. Gọi $p,R,r$ lần lượt là nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ Khi đó

\[\sum \frac{a}{b+c} = \frac{2(p^2-Rr-r^2}{p^2+2Rr+r^2},\]

\[\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc} = \frac{r}{R},\]

cho nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{2(p^2-Rr-r^2}{p^2+2Rr+r^2}+\frac{r}{R} \leqslant 2,\]

hay là

\[6R^2+2Rr-p^2-r^2 \geqslant 0,\]

hoặc

\[2(R+r)(R-2r)+(4R^2+4Rr+3r^2-p^2) \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Euler's và bất đẳng thức Gerretsen's nên ta có điều phải chứng minh.

 


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#5
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho x, y, z>0. CMR:

$\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{z+x}{x+2y+z}+\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq 2$

 

Ta có

\[\text{Vế phải - Vế trái} = \frac{\displaystyle \sum z(4xy^2+3xyz+5xz^2+yz^2+3z^3)(x-y)^2}{\displaystyle (x+y)(y+z)(z+x)\prod (2x+y+z)} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh