Chủ đề này có 7 trả lời

[Khongten012]

Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 3$

TÌm min P $\frac{x^3}{(y+z)^2}+\frac{y^3}{(x+z)^2}+\frac{z^3}{(y+x)^2}$

[HitCracker]

Lại có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Mà $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 3$

suy ra $x+y+z\geq 3$

Vậy min P =$\frac{3}{4}$ khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HitCracker: 26-12-2016 - 22:31

[Lyness]

Sai rồi bạn ơi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lyness: 26-12-2016 - 21:44

[Lyness]

Từ giả thiết bạn chứng minh $x+y+z\geq 3$

$\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{2}}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{x^3}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\sum x-\frac{1}{2}\sum \frac{xy^{2}}{x^2+y^2}\geq\frac{1}{2} \sum x-\frac{1}{4}\sum \frac{xy^{2}}{xy}=\frac{1}{4}\sum x\geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

[Khongten012]

Từ giả thiết bạn chứng minh $x+y+z\geq 3$

$\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{2}}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{x^3}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\sum x-\frac{1}{2}\sum \frac{xy^{2}}{x^2+y^2}\geq\frac{1}{2} \sum x-\frac{1}{4}\sum \frac{xy^{2}}{xy}=\frac{1}{4}\sum x\geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

bạn ơi bạn làm sai đề rồi

[Khongten012]

CodeCogsEqn (2).gif

Lại có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Mà $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 3$

suy ra $x+y+z\geq 3$

Vậy min P =$\frac{3}{4}$ khi x=y=z=1

bước 4 làm sao để chuyển sang bươc 5 được như thế????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khongten012: 02-01-2017 - 08:49

[HoangKhanh2002]

bước 4 làm sao để chuyển sang bươc 5 được như thế????

$3\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3$

[KietLW9]

Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 3$

TÌm min P $\frac{x^3}{(y+z)^2}+\frac{y^3}{(x+z)^2}+\frac{z^3}{(y+x)^2}$

Từ giả thiết suy ra $x+y+z\geqslant 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{x^3}{(y+z)^2}+\frac{y+z}{8}+\frac{y+z}{8}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+z)^2}.\frac{y+z}{8}.\frac{y+z}{8}}=\frac{3}{4}x\Rightarrow \frac{x^3}{(y+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}x-\frac{1}{4}(y+z) $

Tương tự: $\frac{y^3}{(z+x)^2}\geqslant \frac{3}{4}y-\frac{1}{4}(z+x)$; $\frac{z^3}{(x+y)^2}\geqslant \frac{3}{4}z-\frac{1}{4}(x+y)$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:  $\frac{x^3}{(y+z)^2}+\frac{y^3}{(x+z)^2}+\frac{z^3}{(y+x)^2}\geqslant \frac{1}{4}(x+y+z)\geqslant \frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$