Bài 1: Cho một bảng ô vuông 5x5.Gọi A là tập hợp các đỉnh của hình vuông đơn vị trừ các đỉnh của bảng.Hỏi có thể chọn được từ A nhiều nhất bao nhiêu điểm để trong số các điểm đã được chọn không có 3 điểm nào lập thành một tam giác cân.
Bài 2: Cho tập hợp P gồm n điểm phân biệt trên mặt phẳng (n>=3), trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.Mỗi cặp điểm thuộc P được nối bởi 1 đoạn thẳng tô màu đỏ hoặc tô màu xanh.Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng tô màu đỏ sao cho bất kì tam giác nào với 3 đỉnh thuộc P đều có ít nhất một cạnh màu đỏ.
Bài 3:Cho một đa giác lồi 67 đỉnh các đỉnh được nối với nhau bởi các đoạn thẳng.Chọn n đoạn bất kì và mỗi đoạn được tô bởi 1 trong 10 màu cho trước.Tìm số n nhỏ nhất sao cho với bất kì cách tô màu nào cũng luôn tìm được một đỉnh mà có ít nhất 7 cạnh xuất phát tư đó cùng màu.
Bài 4:Cho n-giác lồi(n>=4).Chia đa giác này thành các tam giác rời nhau có các đỉnh là đỉnh của đa giác,rồi tô các tam giác này bằng 2 màu đỏ và trắng sao cho hai tam giác cùng chung cạnh thì được tô hai màu khác nhau.Trong tất cả các cách chia,tìm số tam giác nhỏ nhất được tô màu đỏ.
Bài 5:Gọi G là tập hợp các điểm có tọa độ (x;y) trên mặt phẳng tọa độ với $x,y\epsilon N , 1\leq x,y\leq 2011$.Một tập con S của G được gọi là tập"hình bình hành tự do" nếu không có 4 điểm nào trong S tạo thành hình bình hành ( trừ trường hợp chúng thẳng hàng).Xác định cỡ lớn của S.
Bài 6:Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị , người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n $(1\leq m\leq 8,1\leq n\leq 8)$.Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n)
