Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\left ( \int_{0}^{1}f(x)g(x)dx \right )^2\leqslant \int_{0}^{1}f^2(x)dx.\int_{0}^{1}g^2(x)dx$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Cho hai hàm số $f$ và $g$ xác định trên $[0;1]$. Chứng minh rằng:

$$\left ( \int_{0}^{1}f(x)g(x)dx \right )^2\leqslant \int_{0}^{1}f^2(x)dx.\int_{0}^{1}g^2(x)dx$$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Trước hết ta định nghĩa một tích vô hướng trên trường số thực $R$ và không gian vector $V$ là một ánh xạ : 

$$<,> : V  \times V \to R$$

$$(x,y) \to <x,y>$$

Thỏa mãn các tính chất :

$1) < x , x > \geq 0 \forall x \in V , <x , x> = 0 <=> x = 0_{V}$

$2) < x , y > = < y , x >$

$3) < x + y , z > = < x , z > + < y , z >$

$4) < cx , y > = c< x , y >$

Số thực $\sqrt{< x , y >} = ||x ||$ được gọi là độ dài vector $x$ . Khi đó ta luôn có bất đẳng thức Cauchy - Schwarz : 

$$ | < x , y > | \leq ||x||.||y||$$ 

Chứng minh : 

Ta xét hàm

$$f(t) = < x - yt , x - yt > \geq 0$$

$$f(t) = < x , x > - 2t < x  ,y > + t^{2} < y , y > \geq 0$$

$$ \Delta \leq 0 => | < x , y > | \leq ||x||.||y||$$

Vậy ta dễ kiểm tra rằng trong không gian $C_{[0,1]}$ thì phép lấy

$$< f , g > = \int fg $$ 

Là một tích vô hướng , nên ta có đpcm . 

Một bdt khác trên Chebushev : 

Cho $f , g : [0,1] \to R$ là hai hàm khả tích , đơn điệu cùng chiều thì : 

$$\int_{0}^{1} f(x)g(x)dx \geq (\int_{0}^{1}f(x)dx)(\int_{0}^{1}g(x)dx)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 28-12-2016 - 23:40

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh