Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 30-12-2016 - 00:22
Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))$
đầu tiên chứng minh $f$ đơn ánh nhỉ ? sau đó thế $x=f(y)$
myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại
NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững
KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước
Võ Tiến Dũng
Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))\ , \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(1)}$
Trong $(1)$ thay $x$ bằng $f(y)$ được
$$ f(0) = 2 f(f(y)) +f^2 (y) \ , \ \forall y \in \mathbb{R} $$
Suy ra
$$ f(f(y)) = - \dfrac{ f^2 (y)}{2} +\dfrac{f(0)}{2} \ , \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)}$$
Trong $(1)$ thay x bằng $f(x)$, đồng thời dùng $(2)$ được
$$ f \left(f(x)-f(y) \right) = -\dfrac{ \left( f(x) -f(y) \right)^2}{2} + f(0) \ , \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(3)} $$
Trước tiên dễ thấy $f(y) = 0 \ , \ \forall y \in \mathbb{R}$ là một nghiệm hàm.
Xét trường hợp tồn tại $y_0 \in \mathbb{R}$ để $f(y_0) \neq 0$.
Trong $(1)$ thay $y$ bằng $y_0$ được
$$ f(x-f(y_0)) - f(x) = x \cdot f(y_0) + f(f(y_0)) \ , \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(4)} $$
Với mọi số thực $t$, từ $(4)$ ta thấy
$$ f\left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} -f(y_0) \right) - f \left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} \right) = \left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} \right) \cdot f(y_0)+f(f(y_0)) = t \quad{(5)}$$
Trong $(3)$ thay $x$ bằng $ \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} -f(y_0)$ và thay $y$ bằng $ \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)}$, kết hợp với $(5)$ được
$$ f(t) = -\dfrac{t^2}{2}+f (0) \ , \ \forall t \in \mathbb{R} $$
Thử lại vào $(1)$, tìm được $f(0) = 0 $.
Do đó, nghiệm của bài toán là $f(x) = 0 \ , \ \forall x \in \mathbb{R}$ và $f(x) = - \dfrac{x^2}{2} \ , \ \forall x \in \mathbb{R}$.
Ta có : $f(x-f(y)) - f(x) = xf(y)+f(f(y))$. Từ đây ta có $f(x)-f(y)$ nhận mọi giá trị trên tập số thực
$P(f(x),y) : f(f(x)-f(y)) = f(f(x))+f(x)f(y)+f(f(y)) = f(f(y)-f(x))$ từ đâ yta có $f(x) = f(-x)$ với mọi $x$
$P(0,y) : f(-f(y)) = f(0) + f(f(y))= f(f(y)) \implies f(0) = 0$
$P(f(y),y) : f(f(y)) = \frac{-f^2(y)}{2}$
Vậy ta có : $f(f(x)-f(y)) = f(x)f(y) - \frac{-f^2(y)}{2} - \frac{-f^2(x)}{2} = \frac{-(f(x)-f(y))^2}{2}$ nên $f(x) = \frac{-x^2}{2}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh