Chủ đề này có 3 trả lời

[quanguefa]

Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 30-12-2016 - 00:22

[dungxibo123]

Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))$

đầu tiên chứng minh $f$ đơn ánh nhỉ ? sau đó thế $x=f(y)$

[9nho10mong]

Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))\ , \  \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(1)}$

 

Trong $(1)$ thay $x$ bằng $f(y)$ được

$$ f(0) = 2 f(f(y)) +f^2 (y) \ , \ \forall y \in \mathbb{R} $$

Suy ra

$$ f(f(y)) = - \dfrac{ f^2 (y)}{2} +\dfrac{f(0)}{2}  \ , \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)}$$

Trong $(1)$ thay x bằng $f(x)$, đồng thời dùng $(2)$ được

$$ f \left(f(x)-f(y) \right) = -\dfrac{ \left( f(x) -f(y) \right)^2}{2} + f(0)  \ , \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(3)} $$

Trước tiên dễ thấy $f(y) = 0 \ , \ \forall y \in \mathbb{R}$ là một nghiệm hàm.

 

Xét trường hợp tồn tại $y_0 \in \mathbb{R}$ để $f(y_0) \neq 0$.

 

Trong $(1)$ thay $y$ bằng $y_0$ được

$$ f(x-f(y_0)) - f(x) = x \cdot f(y_0) + f(f(y_0)) \ , \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(4)} $$

Với mọi số thực $t$, từ $(4)$ ta thấy

$$ f\left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} -f(y_0)   \right) - f \left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} \right) = \left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} \right) \cdot f(y_0)+f(f(y_0)) = t \quad{(5)}$$

Trong $(3)$ thay $x$ bằng $ \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} -f(y_0)$ và thay $y$ bằng $ \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)}$, kết hợp với $(5)$ được

$$ f(t) = -\dfrac{t^2}{2}+f (0) \ , \ \forall t \in \mathbb{R} $$

Thử lại vào $(1)$, tìm được $f(0) = 0 $.

 

Do đó, nghiệm của bài toán là $f(x) = 0 \ , \ \forall x \in \mathbb{R}$ và $f(x) = - \dfrac{x^2}{2} \ , \ \forall x \in \mathbb{R}$.

[manhtuan00]

Ta có : $f(x-f(y)) - f(x) = xf(y)+f(f(y))$. Từ đây ta có $f(x)-f(y)$ nhận mọi giá trị trên tập số thực 

$P(f(x),y) : f(f(x)-f(y)) = f(f(x))+f(x)f(y)+f(f(y)) = f(f(y)-f(x))$ từ đâ yta có $f(x) = f(-x)$ với mọi $x$

$P(0,y) : f(-f(y)) = f(0) + f(f(y))= f(f(y)) \implies f(0) = 0$

$P(f(y),y) : f(f(y)) = \frac{-f^2(y)}{2}$

Vậy ta có : $f(f(x)-f(y)) = f(x)f(y) -  \frac{-f^2(y)}{2} -  \frac{-f^2(x)}{2} =  \frac{-(f(x)-f(y))^2}{2}$ nên $f(x) = \frac{-x^2}{2}$